从统计学视角看机器学习的训练与推理

目录

1. 引言：统计学与机器学习的奇妙缘分
2. 训练与推理：你得先学会“看数据”再“用数据”
3. 最大似然估计（MLE）：从直觉到数学证明
   • 3.1 伯努利分布的MLE
   • 3.2 单变量高斯分布的MLE
   • 3.3 多元高斯与线性回归中的MLE
4. 经验风险最小（ERM）：MLE的自然推广
5. 其他估计方法：矩估计、在线递归估计与指数加权移动平均
6. 总结与展望

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引言：统计学与机器学习的奇妙缘分

当我们谈论机器学习时，其实是在说如何“训练”一个模型，让它能够从数据中“推理”出规律。统计学作为这一过程的数学基石，提供了严格的理论支持。从古老的贝叶斯推理到现代的频数推理，每种方法都有其独特的数学证明和直观解释。本文就将带你走进这些理论的世界，让你在大白话的解释中，感受到数学公式背后的美妙逻辑！

训练与推理：你得先学会“看数据”再“用数据”

在机器学习中，我们通常把整个过程分为两个阶段：训练和推理。训练阶段，我们使用大量数据来“教会”模型识别数据的内在规律；而在推理阶段，模型利用学到的知识对新数据进行预测。两者的区别在于：

• 训练（Training）： 模型根据已知数据调整自身参数，就像你学习数学时不断做题、修正错误。这个过程本质上就是参数估计和优化问题。
• 推理（Inference）： 模型用训练中学到的参数去处理未知数据，给出预测结果，就像考试时你凭借平时的训练作答。

在统计学里，我们往往用概率分布来刻画数据，通过最大似然估计、贝叶斯方法等工具，实现训练与推理的数学转化。

最大似然估计（MLE）：从直觉到数学证明

最大似然估计是统计学中最核心的参数估计方法之一，它的思想其实很直白——选择使得观测数据出现概率最大的参数值。下面，我们通过几个经典例子来详细说明这一过程。

伯努利分布的MLE

假设你在做一个抛硬币实验，每次实验的结果只有“正面”（1）和“反面”（0）。用$ \theta $表示出现正面的概率，那么一组独立实验的似然函数为：

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^n{\theta }^{x_i}(1-\theta {)}^{1-x_i}$$

为了方便求导，我们取对数，得到对数似然函数：

$$\ell (\theta )=\sum _{i=1}^n[x_i\log \theta +(1-x_i)\log (1-\theta )]$$

接下来，对$\theta$求导并令导数为零，我们可以得到：

$$\frac{d\ell (\theta )}{d\theta }=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{\theta }-\frac{n-{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{1-\theta }=0$$

解得：

$$\theta =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

这告诉我们，最佳的参数$\theta$就是正面出现的频率。简单明了，对吧？

单变量高斯分布的MLE

对于连续变量，最常用的分布之一就是高斯分布。设数据服从单变量高斯分布：

$$p(x|\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

对于独立数据集，似然函数为：

$$L(\mu ,{\sigma }^2)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp (-\frac{(x_i-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

取对数后得到：

$$\ell (\mu ,{\sigma }^2)=-\frac{n}{2}\log (2\pi {\sigma }^2)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

分别对$\mu$和${\sigma }^2$求导并令导数为零，我们能推导出：

$$\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

$${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

这两个公式直观地告诉我们，数据的均值和方差正是高斯分布参数的最佳估计。

多元高斯与线性回归中的MLE

当数据是多维的，我们用多元高斯分布来描述数据。设$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^d$，其概率密度函数为：

$$p(\mathbf{x}|\mathbf{\mu },\Sigma )=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}|\Sigma {|}^{1/2}}\exp (-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }))$$

同样地，对数似然函数为：

$$\ell (\mathbf{\mu },\Sigma )=-\frac{n}{2}\log ((2\pi {)}^d|\Sigma |)-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}({\mathbf{x}}_i-\mathbf{\mu })$$

通过对$\mathbf{\mu }$和$\Sigma$求导，可以得到最优估计公式。特别地，在线性回归中，我们假定目标变量$y$与输入特征$\mathbf{x}$之间满足：

$$y={\mathbf{x}}^T\mathbf{\beta }+ϵ,ϵ\sim N(0,{\sigma }^2)$$

在这种假设下，最大似然估计的求解过程等价于最小二乘法，最佳参数为：

$$\hat{\mathbf{\beta }}=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

同时，噪声方差的估计为：

$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\Vert y-X\hat{\mathbf{\beta }}{\Vert }^2$$

这些推导不仅告诉我们如何从数据中“学习”参数，更为后续更复杂的模型训练提供了理论基础。

经验风险最小（ERM）：MLE的自然推广

最大似然估计是一种非常特殊的经验风险最小（ERM）方法。当我们在训练一个模型时，目标是最小化经验风险，即：

$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\min }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}L(y_i,f(x_i;\theta ))$$

这里，$L$是损失函数，而$f(x_i;\theta )$是模型预测值。如果我们选择$L$为负对数似然，那么ERM就完全等价于MLE。这说明，经验风险最小化不仅适用于概率模型，也适用于更广泛的模型训练问题，是MLE思想的自然推广。

其他估计方法：矩估计、在线递归估计与指数加权移动平均

除了MLE之外，统计学中还有许多其他参数估计方法。下面我们用大白话和公式来解释几种常见的方法：

矩估计法（Method of Moments, MOM）

矩估计法的基本思想是：用样本矩来估计分布的理论矩。例如，对于单变量高斯分布，我们有：

$$\mu =E[x]\approx \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

$${\sigma }^2=E[(x-\mu {)}^2]\approx \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$$

对于均匀分布$U(a,b)$，已知其理论均值和方差分别为：

$$\mu =\frac{a+b}{2},{\sigma }^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

利用样本均值和样本方差，我们可以反推出分布的参数。这种方法简单直观，适用于很多分布的参数估计。

在线递归估计与高斯分布均值的递归MLE

在实际应用中，数据往往是不断到来的，我们希望能够实时更新模型参数。在线递归估计便是一种非常实用的方法。例如，对高斯分布均值的递归估计公式为：

$${\hat{\mu }}_t={\hat{\mu }}_{t-1}+\alpha (x_t-{\hat{\mu }}_{t-1})$$

其中，$\alpha$是一个学习率参数，控制新数据对估计值的影响。这其实和我们日常生活中的“不断修正预期”很像：每次遇到新情况，我们就会略微调整之前的看法。

指数加权移动平均（Exponential Weighted Moving Average, EWMA）

当我们希望对时间序列数据进行平滑处理时，指数加权移动平均是一个好方法。其公式为：

$$S_t=\lambda x_t+(1-\lambda )S_{t-1}$$

其中，$\lambda$为平滑系数（通常在$0$到$1$之间），$S_t$为当前的平滑值。简单来说，每个时刻的估计值不仅考虑当前数据$x_t$，还会参考之前的状态$S_{t-1}$，使得整体估计更平滑、鲁棒性更高。

总结与展望

通过上面的讨论，我们可以看到，统计学不仅为机器学习中的训练和推理提供了理论基础，更在参数估计上展现出极大的魅力。无论是最大似然估计的严谨证明，还是经验风险最小化的广义框架，都为我们理解机器学习模型的本质提供了强有力的支持。同时，矩估计、在线递归估计和指数加权移动平均等方法，也展示了数据流时代实时更新模型参数的可能性。

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