一、相较于Triplet loss

Triplet loss在训练时，收敛较难

1. 每个三元组需要三次抽样，然而将某个数据集中所有三元组罗列出来是不实际的，因此需要高效取样策略。
2. 目标是将inter-class间的距离推远到margin m以上，然而使用全局统一margin m是不合理的，因为现实世界中，intra-class的距离有很大变化
3. 从函数的梯度运算公式来看，每个sample的梯度只考虑两个点之间的关联，不会考虑第三个点。
   
   

二、Angular loss的意义

因为anchor和positive samples属于同一个类别，因此可以对称地推导出

由于an边和pn边的距离都应该大于ap边，根据余弦定理，最短的变ap对应的角∠n ≤ min(∠a, ∠p)
又因为，三角形内角和=180度，因此∠n 应该小于60度，因此得到一个upper bound：

三、Angular loss的优点

1. Angle是一个similarity transform invariant（相似变换不变量） metric，与三角形边的相对关系成比例。用一个固定的α ，能够适用与feature map的任意缩放
2. 相较于Triplet loss，只考虑两个边。∠n的计算需要同时考虑三个边，提升优化的鲁棒性和高效性
3. Margin m的选取没有有意义的参考，而 α 的设置有具体且可解释的几何学意义

四、Angular Loss

如图Fig3(a)，当∠a大于90度时，减小∠n可能会使negative 靠近anchor，出现不稳定case
因此，通过外界圆C，和垂直于nc边的超平面P，产生两个新的点，圆心Xc 和相交点Xm。通过变换Xa到Xc，和变换Xp到Xm，得到一个新的三角形。
目标变成：减小∠n′ -> 减小 tan∠n′



对应的梯度计算：

五、实施细节

1. 取样策略：采用N-pair loss论文中的取样逻辑，取N/2个classes，每个class随机取2个samples，构成N个tuplets——由同class的2个samples构成anchor和positive，N-1个negatives取自其他不同classes
2. 平滑loss函数：

   1. 基于以下不等式
      

   2. 假设feature为单元长度：||x|| = 1
      得到：
      
      

   3. 结合N-pair Loss：λ = 2
      

六、训练细节

1. 对于类目数量多的数据集，使用0.0001的LR；对于类目较少的数据集，使用0.00001的LR
2. α的选择对训练结果会有影响，不同的数据集，最佳α不同，一般固定在36度～55度最佳
3. 单独使用AL时，根据α的选择，效果和NL不相上下，NL&AL的效果最好

七、未来构想

三元组再往上，形成四元组，构成一个triangular pyramid（三角锥体），关注一个点到另外三个点构成平面的距离关系