谈谈你对线弹性断裂力学和弹塑性断裂力学的认识

经过对本课程的学习，我首先认识到断裂力学研究的是宏观的断裂问题，而不是研究属于断裂物理研究范围的微观结构断裂机理。断裂力学从材料内部存在缺陷出发，研究裂纹的生成、亚临界拓展，以及断裂的开始、传播和停止。应该从宏观上把握断裂力学研究的内容。而从学科的角度看，断裂力学是对材料力学的发展与充实，断裂力学再大量实验基础上研究带裂纹材料的断裂韧度，探究了带裂纹构件在各种工作条件下裂纹的扩展、失稳和止裂的规律，并应用这些规律设计更加安全可靠的产品。

线弹性断裂力学的研究对象是线弹性裂纹固体，要求裂纹内各点的应力和应变的关系都是线性的。在金属材料中，裂纹的扩展总伴随着裂纹尖端的塑性变形，并未严格的遵循线弹性断裂理论，但只要塑性区尺寸远小于裂纹的尺寸，经过适当的修正，不会产生过大的误差，所以，可以用线弹性理论进行分析(1)。弹性断裂力学的问题，通常使用应力强度因子断裂理论来解决。应力强度因子K常用来表征裂纹尖端附近区域应力场的强弱，是判断裂纹是否将进入失稳状态的一个指标。裂纹顶端附近区域内某一点的位置一旦确定，该点处的应力、位移、及应变场的大小便唯一地由K来确定。K控制着裂纹顶端应力、位移、应变场的大小。根据裂纹类型表示为KI、KII、KIII。但是由于理论计算中假定材料是完全线弹性的以在应用应力强度因子理论时，要对K进行一定的修正。

断裂力学的基础理论是从线弹性力学开始发展的，逐渐发展成为研究脆性材料的线弹性断裂力学。线弹性理论简单明了，能够对脆性断裂问题进行定量分析，在不考虑裂纹尖端因应力集中产生的塑性区时，依据线弹性理论给出了裂纹尖端的应力、应变场和G准则、K准则和复合型准则三种脆性断裂准则。若考虑裂纹尖端应力集中现象，尖端附近必然产生塑性区，当塑性区的尺寸大到不能其对材料力学性能的影响时，线弹性理论就不再适用。对于这部分裂纹尖端的塑性区的研究，逐渐发展为弹塑性断裂力学研究的一个重要课题，其中比较著名的有D-M模型，COD准则，J积分，HRR理论等。

断裂准则是材料极限状态中的重要指标，对预测材料发生破坏的时间和位置具有非常重要的意义，同时断裂准则在预测裂纹的扩展路径方面得到了广泛的应用。长期以来，国内外学者提出了适用于不同条件下的材料断裂准则，其中常用的材料断裂准则主要有应力强度因子准则(2)、最大拉应力准则(3)、最大能量释放率准则(4)和应变能密度因子准则(5, 6)。

• 使用线弹性理论求解II型裂纹尖端附近的应力和位移

如图 1所示为II型裂纹尖端附近的应力和位移求解示意图。

图 1 II型裂纹尖端附近示意图

由弹性力学平面问题进行求解，得到裂纹尖端附近的应力场如下：

                                            

                                        

同样得出裂纹尖端附近的位移场如下：

                                   

                              

上面两式与I型裂纹求解过程相同，Westergard取一复变函数

，用其一次积分和二次积分组成应力函数：

                                                   

                                               

选取应力函数：

                                                                 

                                                             

再由柯西黎曼条件以及应力分量表达式，可求出用Z(z)表示的三个应力分量：

                                                      

                                                  

进而得到位移分量：

                                          

                                      

由边界条件（一式为y=0 |x|<a处，后两式为|z|→

）

                                                               

                                                           

经验证，选取下式函数，满足式的边界条件：

                                                               

                                                          

换到裂纹尖端的新坐标，有：

                                                           

                                                       

并且与I型裂纹类似，可以求得II型裂纹的应力强度因子：

                                                

                                          

• 一个J积分实例

断裂力学中有三个基本参数，即应力强度因子K，路径无关积分（J积分）和应变能释放率G，对于线弹性材料而言，这三个参数完全可以通过材料参数联系起来，并且J积分和应变能释放率是等价的(7-9)。王跃(10)等建立了简易解析模型，对单面修补直板或圆柱形弯曲板结构施加面内载荷或面外载荷，研究不同复合材料补片参数下裂纹尖端的J积分，为补片设计提供理论依据。

单面修补含中心穿透裂纹板结构的示意图如图 2所示。基板和胶层为各向同性材料，补片的铺层方式为正交铺层，

方向与裂纹方向垂直，为类各向同性材料。

图 2 复合材料单面修补含裂纹板结构

根据施加的轴力和弯矩求取基板应力，再由承受面内载荷的基板应力

、

，求得平均轴应力和平均弯曲应力为：

                                                      

                                                

对于上述给定的公式，应用了基板最小应力的绝对值。这是为了说明裂纹闭合的作用，如果有一个负的最小应力，即压应力，则会造成局部裂纹面的闭合，裂纹尖端的J积分减小。

Ｊ积分通常用来表示裂纹尖端应力集中程度的断裂参数。裂纹板贴补复合材料补片后， J积分受应力

和

的作用，轴向力

是产生轴向变形的应力分量，而弯曲应力是导致修补板产生弯曲变形的应力分量。由轴向应力和弯曲应力得到的应力强度因子以及单面修补裂纹板的J积分与应力强度因子的平方成正比，得到：

                                                    

                                              

式中，

是要确定的比例常数。上式表达了上述单面搭接接头模型中由正则化轴向应力和弯曲应力的平方得到的修补板正则化J积分的比率，为选择合适的补片厚度和材料属性的组合提供了依据。Ｊ积分比率表明了修补后裂纹尖端Ｊ积 分 值 的 减 小 程 度 。例如，若Ｊ积分比率值为0.5，意味着由于补片的作用，J积分值减少了一半。

建立修补结构的三维有限元模型研究补片的长度和宽度对修补板裂尖端J积分的影响 。使用适合弹塑性分析的C3D20R单元对金属板进行建模，使用Counter型裂纹模拟穿透裂纹损伤，获得裂纹尖端J积分。图 3为承受面内载荷含不同裂纹长度修补板裂纹尖端J积分变化曲线。可以看出，随着补片长度的增肌，J积分逐渐减小，当补片长度超过裂纹长度两倍后，J积分基本成为一常数。而J积分与补片宽度的函数关系如图 4所示，曲线的形状与J积分随补片长度的变化趋势相同。

图 3 面内载荷下复合材料单面修补结构裂纹尖端J积分随补片长度变化曲线

图 4 面外载荷作用下复合材料单面修补结构裂纹尖端J积分随补片宽度变化曲线

为了验证式的有效性，利用有限元计算不同裂纹尺寸、补片厚度和模量下的正则化的J积分，即式的左部，利用式的右部求解不同补片厚度和模量下正则化的应力的二次方。利用有限元模型对各类型的补片进行研究，总共两种基板厚度：3mm和5mm，两种裂纹长度：50.8mm和101.6mm，9种弹性模量和9种补片厚度。

图 5 面内载荷下不同厚度和属性的复合材料补片修补两类裂纹长度平板后正则化J积分与正则化应力平方的对应关系

面内载荷条件下正则化J积分和应力值平方的对应关系如图 5所示，进行两者的线性拟合。可以看出，式的预测与有限元结果吻合的较好，因此在给定某一裂纹板后，可以利用式对补片的模量和厚度进行优化选择。

另外，在考虑宽度效应对J积分的影响时，由数据拟合和正则化方法，可得修正后的J积分与应力强度因子的平方的关系：

                                      

                               

综上所述，如果单面修补的平板承受面内载荷，仅用式就可以对修补结构J积分进行预测，而在平板承受面外载荷或者圆柱形弯曲板的情况，使用式考虑补片的宽度效应。