我们来详细分析一下这个逻辑表达式： \[(p \vee r) \land (q \vee r)\]
首先，我们回顾一下析取（OR）和合取（AND）运算的基本性质：
1. **析取（OR）**: \(A \vee B\) 为真当且仅当 \(A\) 或 \(B\) 至少有一个为真。
2. **合取（AND）**: \(A \land B\) 为真当且仅当 \(A\) 和 \(B\) 都为真。
接下来分析表达式 \[(p \vee r) \land (q \vee r)\]：
### 第一步：分配律应用
首先，使用逻辑运算的分配律来展开表达式。分配律表明：
\[
(A \vee B) \land (C \vee D) = (A \land C) \vee (A \land D) \vee (B \land C) \vee (B \land D)
\]
对 \((p \vee r) \land (q \vee r)\) 使用分配律展开：
\[
(p \vee r) \land (q \vee r) = (p \land q) \vee (p \land r) \vee (r \land q) \vee (r \land r)
\]
### 第二步：化简
接下来化简这个表达式：
- \(r \land r = r\)，因为合取是自反的。
- \(p \land r\) 和 \(r \land q\) 保持不变。
- 所以，展开后的表达式为：
\[
(p \land q) \vee (p \land r) \vee (r \land q) \vee r
\]
### 第三步：进一步化简
注意到 \(r\) 出现在 \(r \land q\) 和 \(r\) 本身中。所以整个表达式可以进一步化简为：
\[
(p \land q) \vee r
\]
因为如果 \(r\) 为真，那么整个表达式就为真，无论其他部分的值如何；如果 \(r\) 为假，那么表达式只依赖于 \(p \land q\)。
### 结论
最终我们可以得出：
\[
(p \vee r) \land (q \vee r) = p \vee r
\]
因此，原始表达式 \((p \vee r) \land (q \vee r)\) 的简化结果是 \(p \vee r\)，因为 \(r\) 的存在会使得整个表达式能够简化为 \(p \vee r\)，从而去掉了对 \(q\) 的依赖。
好的，我们来详细解析一下第三步的化简过程。回顾到第三步之前，我们已经得到了以下展开的表达式：
\[
(p \land q) \vee (p \land r) \vee (r \land q) \vee r
\]
### 1. **分析每一项**
我们先逐个分析这个表达式中的每一项：
- \( (p \land q) \): 这个项表示的是 \(p\) 和 \(q\) 都为真时，整个表达式为真。
- \( (p \land r) \): 这个项表示的是 \(p\) 和 \(r\) 都为真时，整个表达式为真。
- \( (r \land q) \): 这个项表示的是 \(r\) 和 \(q\) 都为真时，整个表达式为真。
- \( r \): 这个项表示的是只要 \(r\) 为真，整个表达式就为真。
### 2. **观察 \(r\) 的影响**
从这些项中，我们可以观察到 \(r\) 在多个地方出现。特别是，\(r\) 作为一个单独的项出现在表达式中，它的作用非常重要。我们可以对这个表达式中的 \(r\) 进行一些归纳和简化。
#### \(r\) 自己的存在
- \( r \) 作为一个独立的项，意味着如果 \(r\) 为真，那么整个表达式将无条件为真。
- 即使其他项（如 \(p \land q\) 或 \(p \land r\) 等）是否为真都不再重要，因为 \(r\) 作为合取（OR）中的一个项已经使得整个表达式为真。
#### \(r\) 和其他项的关系
- 看看 \( (p \land r) \) 和 \( (r \land q) \)：它们都包含 \(r\)，因此当 \(r\) 为真时，这两项都会为真。换句话说，无论 \(p\) 或 \(q\) 是什么，只要 \(r\) 为真，整个表达式就已经为真。
- 所以，\(r\) 的存在在逻辑上就已经能够"覆盖"掉 \(p \land r\) 和 \(r \land q\)，因为这些项在 \(r\) 为真时总是为真。
### 3. **简化为 \( p \vee r \)**
现在，回到原始表达式：
\[
(p \land q) \vee (p \land r) \vee (r \land q) \vee r
\]
- 当 \(r\) 为真时，整个表达式无论如何都会为真。因为 \(r\) 的存在覆盖了其他所有项。因此，无论 \(p\) 和 \(q\) 是什么，最终表达式的值都不会受它们的影响。
- 如果 \(r\) 为假，那么剩下的部分就是 \( (p \land q) \)。但是在这个情况下，\( (p \land q) \) 本身并不会影响结果，除非 \(p\) 和 \(q\) 都为真。
因此，在综合考虑 \(r\) 的影响后，我们可以将表达式简化为：
\[
p \vee r
\]
这样，原本的复杂表达式就可以用一个简单的 \(p \vee r\) 来表示，因为如果 \(r\) 为真，表达式为真；如果 \(r\) 为假，则结果只依赖于 \(p\)。
### 总结
- 通过观察 \(r\) 的影响，我们发现它在表达式中起到了"主导作用"，一旦 \(r\) 为真，整个表达式就为真。
- 因此，最终我们可以将 \((p \vee r) \land (q \vee r)\) 简化为 \(p \vee r\)，因为 \(r\) 的存在已经保证了表达式的真实性，而 \(p\) 的真值只在 \(r\) 为假时才起决定作用。
这就是第三步化简的核心思想和过程。
