基础知识-因果分析-daythree-独立性检验

我们经常需要观察一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响。有时候，我们可以观察到一个事件的发生对另一个事件发生的概率有影响。比如，你驾车超速这个事件的发生会增加你发生交通事故的概率。但是，有时候我们也可以观察到，一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响，比如你朋友的职业是医生这个事件，不会影响你发生交通事故的概率。在一般情况下，P(A)和P(A|B)不相等，比如例2.1中，P（年产值<4000）=92%，而P（年产值<4000|年产值>2000）≈75.6%，两者不相等，这反映了事件A（年产值<4000）和事件B（年产值>2000）之间的联系。若有

说明B事件的发生对于A事件的发生没有影响，这时我们称事件A和事件B相互独立。将式(2.9)代入概率乘法公式——式(2.3)，则有

定义：若两个事件A和B满足等式

P(A,B)=P(A)P(B)

则称事件A和事件B相互独立，也称为相互边缘独立。

如果上述等式不成立，则称事件A与事件B相互依赖。事件相互独立与事件相互依赖具有对称关系——如果A依赖于B，则B依赖于A；如果A独立于B，则B也独立于A。（形式上，若P(A|B)=P(A)，则必有P(B|A)=P(B)。）这也与我们的直觉相一致，若“烟”提供了“火灾”的信息，那么“火灾”一定也给我们提供了“烟”的信息。类似地，可有事件之间条件独立的定义：当且仅当

成立，称事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立。我们来证明“事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立”时，式(2.11)必然成立。证明：

上面的推导中，第六个等号是因为事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立，所以有P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)。类似地，可以根据式(2.11)推导出“事件A与事件B在给定事件C的情况下条件独立”，这里不做证明。

类似于事件相互独立的对称性，事件之间条件独立也有对称性，即根据式(2.11)，可有P(B|AC)=P(B|C)比如，事件“石头变热”和事件“太阳照射”相互不独立，当事件“太阳照射”发生时，事件“石头变热”就会发生。但假如引入第三个事件“有人在石头旁边烧火”，这个事件发生时，则前两个事件变成条件独立关系，因为石头是否变热只对加热的出现做出反应，而不关心具体是“太阳照射”加热还是“有人在石头旁边烧火”加热。

两个事件相互独立和两个事件基于另一个事件条件独立，这两者之间是什么关系呢？事实上，两个事件相互独立，并不能推导出两个事件会基于另一个事件条件独立；反之，两个事件基于另一个事件条件独立，也不能推导出两个事件相互独立。以掷骰子试验为例，假设骰子只有四个面，分别标记为1、2、3和4，且假设事件A为掷出来的点数是1或2，事件B为掷出来的点数是2或3，事件C为掷出来的点数是1或2或3，则事件AB为掷出来的点数是2，事件BC为掷出来的点数是2或3。

那么，有概率数值P(A)=1/2，P(B)=1/2，P(AB)=1/4,P(A|C)=2/3和P(A|BC)=1/2。显然，此时有P(AB)=P(A)P(B)，即事件A和事件B相互独立；同时有P(A|C)≠P(A|BC)，即在给定事件C时事件A和事件B不是相互条件独立的。

但如果假设事件A为掷出来的点数是1，事件B为掷出来的点数是1或2，事件C为掷出来的点数是1或2，则事件AB为掷出来的点数是1，事件BC为掷出来的点数是1或2。

那么，有概率数值P(A)=1/4，P(B)=1/2，P(AB)=1/4,P(A|C)=1/2和P(A|BC)=1/2。显然此时有P(A|C)=P(A|BC)，即在给定事件C时事件A和事件B相互条件独立。但此时P(AB)≠P(A)P(B)，即事件A和事件B不相互独立。和事件类似，变量之间可以相互依赖，也可以相互独立。两个变量X和Y，如果对于X和Y的任意一个取值x和y都有

则变量X和Y相互独立，记为XY。和事件之间的相互独立性一样，变量之间的独立性也具有对称关系，因此，如果式(2.12)成立，则有P(Y=y|X=x)=P(Y=y)。如果变量X和Y有任意一对取值不满足上述等式，则称变量X和Y相互依赖。因此，变量之间的相互独立，也可以视为一组事件之间相互独立。比如，“身高”和“学习成绩”是相互独立的变量，对于身高的任意一个取值h和学习成绩的任意一个取值s，身高为h的概率不会对学习成绩为s的概率有任何影响。