假设 M M M和 Q Q Q是给定的正的常数,然后定义一个函数 f ( r ) f(r) f(r)。这个函数的定义如下:
f ( r ) = 1 − M r 2 + Q r 4 − r 2 , r > 0 f(r) = 1 - \frac{M}{r^2} + \frac{Q}{r^4} - r^2, \quad r > 0 f(r)=1−r2M+r4Q−r2,r>0。
如果 f f f有三个不同的正根 r c > r + > r − > 0 r_c > r_+ > r_- > 0 rc>r+>r−>0,证明 f ′ ( r + ) + f ′ ( r − ) < 0 f'(r_+) + f'(r_-) < 0 f′(r+)+f′(r−)<0。
其中, f ′ ( r ) f'(r) f′(r) 是函数 f ( r ) f(r) f(r) 的导数。
证:
为了证明 f ′ ( r + ) + f ′ ( r − ) < 0 f'(r_{+}) + f'(r_{-}) < 0 f′(r+)+f′(r−)<0,我们可以按照以下步骤进行:
1.明确函数定义:
给定的函数为 f ( r ) = 1 − M r 2 + Q r 4 − r 2 f(r)=1-\frac{M}{r^{2}}+\frac{Q}{r^{4}}-r^{2} f(r)=1−r2M+r4Q−r2,其中 M M M和 Q Q Q是正的常数。
2.计算导数:
求导得到 f ′ ( r ) = 2 M r 3 − 4 Q r 5 − 2 r f'(r)=\frac{2M}{r^{3}}-\frac{4Q}{r^{5}}-2r f′(r)=r32M−r54Q−2r。
3.利用函数根的性质:
由于 r + r_{+} r+和 r − r_{-} r−是 f ( r ) f(r) f(r)的两个不同的正根,即 f ( r + ) = f ( r − ) = 0 f(r_{+})=f(r_{-})=0 f(r+)=f(r−)=0。这意味着在 r + r_{+} r+和 r − r_{-} r−处,函数值均为零。
4.分析导数符号:
我们需要分析 f ′ ( r + ) f'(r_{+}) f′(r+)和 f ′ ( r − ) f'(r_{-}) f′(r−)的符号。由于 f ( r ) f(r) f(r)在 r + r_{+} r+和 r − r_{-} r−处取得极值(因为它们是根),所以 f ′ ( r + ) f'(r_{+}) f′(r+)和 f ′ ( r − ) f'(r_{-}) f′(r−)必须异号。但由于题目要求证明它们的和小于零,我们需要进一步分析。
5.利用函数图像和性质:
由于 f ( r ) f(r) f(r)是一个四次函数(虽然看起来复杂,但我们可以将其视为关于 r 2 r^2 r2的二次函数加上常数项进行调整),其图像可能具有多个拐点。然而,由于M和Q是正数,且r是正数,我们可以推断出在某些区间内,函数的增减性。
6.结合具体条件进行推导:
由于 r + > r − > 0 r_{+} > r_{-} > 0 r+>r−>0,我们可以假设在(0, r − r_{-} r−)区间内,函数 f ( r ) f(r) f(r)是递增的(即 f ′ ( r ) > 0 f'(r)>0 f′(r)>0),而在( r − r_{-} r−, r + r_{+} r+)区间内,函数可能是递减的(即 f ′ ( r ) < 0 f'(r)<0 f′(r)<0),并且在( r + r_{+} r+,+∞)区间内再次递增(但这部分对于证明当前问题不是必需的)。
7.得出结论:
由于 f ′ ( r + ) f^{\prime}(r_{+}) f′(r+) 和 f ′ ( r − ) f^{\prime}(r_{-}) f′(r−)异号,且我们假设在 r − r_{-} r−处函数由递增变为递减(即 f ′ ( r − ) f^{\prime}(r_{-}) f′(r−)从正变为负),而在 r + r_{+} r+处函数继续递减(即 f ′ ( r + ) < 0 ) f^{\prime}(r_{+})<0) f′(r+)<0),因此可以推断出 f ′ ( r + ) + f ′ ( r − ) < 0 f^{\prime}(r_{+})+f^{\prime}(r_{-})<0 f′(r+)+f′(r−)<0。
注意:上述推导中的假设部分(特别是在 ( 0 , r − ) (0,r_{-}) (0,r−)和 ( r − , r + ) (r_{-},r_{+}) (r−,r+)区间的增减性)需要更严格的数学证明来支持。这里的解释是为了提供一个直观的思路。在实际证明中,可能需要利用更高级的微积分技巧或数值方法来验证这些假设。
另外,值得注意的是,虽然题目中提到的 f ( r ) f(r) f(r)是一个四次函数,但通过适当的变量替换(如令 x = r 2 ) x=r^2) x=r2),我们可以将其转化为一个关于 x x x的二次函数加上常数项的形式,这可能有助干简化分析和证明过程。