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题目

  二分法求函数根的原理为：如果连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 的两个端点取值异号，即 $f(a)f(b)<0$，则它在这个区间内至少存在 $1$ 个根 $r$，即 $f(r)=0$。
  二分法的步骤为：

• 检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点 $(a+b)/2$；否则
• 如果 $f(a)f(b)<0$，则计算中点的值 $f((a+b)/2)$；
• 如果 $f((a+b)/2)$ 正好为 $0$，则 $(a+b)/2$ 就是要求的根；否则
• 如果 $f((a+b)/2)$ 与 $f(a)$ 同号，则说明根在区间 $[(a+b)/2,b]$，令 $a=(a+b)/2$，重复循环；
• 如果 $f((a+b)/2)$ 与 $f(b)$ 同号，则说明根在区间 [$a,(a+b)/2]$，令 $b=(a+b)/2$，重复循环。

本题目要求编写程序，计算给定 $3$ 阶多项式 $f(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，在给定区间 $[a,b]$ 内的根。

输入格式

  输入在第 $1$ 行中顺序给出多项式的 $4$ 个系数 $a_3、a_2、a_1、a_0$，在第 $2$ 行中顺序给出区间端点 $a$ 和 $b$。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

输出格式

  在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后 $2$ 位。

输入样例

3 -1 -3 1
-0.5 0.5

输出样例

0.33

题解

解题思路

  先输入多项式的 $4$ 个系数，然后输入区间 $a、b$。然后 $while$ 循环判断 $a、b$ 是否相同且异号，如果不成立则说明在该区间内没有根；如果成立则继续判断 $f((a+b)/2)$ 是否等于 $0$，如果等于则直接输出答案；如果不等于则判断 $f((a+b)/2)$ 与 $f(a)$ 或者 $f(b)$ 中一个同号，根据不同情况对区间进行缩小，直到算出答案或者判断出在该区间内没有根即可。

完整代码

#include <math.h>
#include<iostream>
using namespace std;double a, b, c, d;
double f(double A)								// 计算多项式的值
{return a * pow(A, 3) + b * pow(A, 2) + c * A + d;
}
int main(void)
{double A, B;cout << "请输入多项式的 4 个系数：";              // 提交时注释此行cin >> a >> b >> c >> d;cout << "请输入区间端点：";                     // 提交时注释此行cin >> A >> B;while ((B - A) > 0.0001 && f(A) * f(B) <= 0)	// 判断是否异号和相等,等于0是区间端点{if (f((A + B) / 2) == 0){cout.precision(2);cout << fixed << (A + B) / 2 << endl;return 0;}else if (f((A + B) / 2)*f(A) > 0)		// 和 f（A）同号A = (A + B) / 2;else									// 和 f（B）同号：f((A + B) / 2) * f(B) > 0B = (A + B) / 2;}cout.precision(2);                      // 控制小数点位输出cout << fixed << (A + B) / 2 << endl;return 0;
}