一、二维数组

1、状态转移方程：

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

2、初始化

（1）从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

（2）状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];
}

（3）其他下标初始化：

  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

dp[1][1] = max(dp[0][1], dp[0][1- weight[i]]    + value[i]) 一定在其左方且上方，

故一定初始化过了，可以设置为任何值，为了方便，现默认初始化为0。

二、一维（滚动数组）

1、一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

2、初始化

（1）dp[0]=0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

（2）假设物品价值都是大于0的，为了不被初始值覆盖，所以dp数组初始化的时候，都初始为0

3、遍历顺序

倒序遍历

解释1：列表后面的值需要通过与上一层遍历得到的前面的值比较确定

解释2：01背包每个背包都只有一个，这个包放于不放与上一个包的状态有关，而左边的数组是描述上一个包状态的量，右边的数是当前包状态的一个待定，代码里是右边数组的确定需要左边的数，所以在计算出右边的数之前不能破坏左边的数。

解释3：对于二维，我每个新的dp数字的结果，都来源于上面和左边；其实一维也本该是这样，但一维的时候，如果还是从左到右，那么我其实左边的数字已经更新过了（左边已经不是“原来的”左边了！这会造成某些重复计算），即使上面还是原来的上面，得到的数字也是不正确的。而如果我们在背包层（里层）从右到左地遍历，那么左边的元素永远不会因为我前一次的操作被覆盖上新的值，这样可以得到正确的值。