假设一个质量 m 连接在弹簧和阻尼器上，系统受到外力 F(t) 的作用。设 x(t) 为质量的位移，系统的运动方程可以用牛顿第二定律表示为：

这是一个典型的二阶线性非齐次微分方程：其中：

• m 是质量（F=ma）
• b 是阻尼系数(F=bv)
• k 是弹簧系数
• x(t)是位移
• F(t) 是外力

如果外力 F(t) 为零，即没有外力作用时，方程变为齐次方程：

解法步骤

1. 求解齐次方程：

   齐次方程的解可以通过求解其特征方程得到。特征方程为：

   

   这是一元二次方程，可以通过求根公式得到其根：

   

   根据判别式 Δ=b^2 - 4mk的不同情况，我们有以下三种可能的解：

   • 实且不同的根：当 Δ>0，解为 r1​ 和 r2。
   • 实且相同的根：当 Δ=0，解为 r。
   • 复数根：当 Δ<0，解为 r=α±iβ。

2. 求解特解：

   对于非齐次方程，我们需要找到一个特解 xp(t)。特解的形式通常依赖于外力 F(t)的形式。

3. 通解：

   最后的通解是齐次解和特解的叠加：

   x(t)=xh(t)+xp(t)