假设一个质量 m 连接在弹簧和阻尼器上，系统受到外力 F(t) 的作用。设 x(t) 为质量的位移，系统的运动方程可以用牛顿第二定律表示为：
这是一个典型的二阶线性非齐次微分方程：其中：
- m 是质量（F=ma）
- b 是阻尼系数(F=bv)
- k 是弹簧系数
- x(t)是位移
- F(t) 是外力
如果外力 F(t) 为零，即没有外力作用时，方程变为齐次方程：
解法步骤
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求解齐次方程：
齐次方程的解可以通过求解其特征方程得到。特征方程为：
这是一元二次方程，可以通过求根公式得到其根：
根据判别式 Δ=b^2 - 4mk的不同情况，我们有以下三种可能的解：
- 实且不同的根：当 Δ>0，解为 r1 和 r2。
- 实且相同的根：当 Δ=0，解为 r。
- 复数根：当 Δ<0，解为 r=α±iβ。
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求解特解：
对于非齐次方程，我们需要找到一个特解 xp(t)。特解的形式通常依赖于外力 F(t)的形式。
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通解：
最后的通解是齐次解和特解的叠加：
x(t)=xh(t)+xp(t)
