算法练习(一)——数学公式,逻辑思维,DFS递归

算法练习

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题目一

题干

给定一个数a,这个a是可以由一组m个连续的正整数相加得到的,求这个m的最小值。举例:a=21=1+2+3+4+5+6=10+11,会发现10和11是最小的,返回m为2。

解法

要找到一个数 a 可以由一组 m 个连续的正整数相加得到的最小值 m ,我们可以使用数学方法和Python编程来解决。

我们需要检查 m 个连续整数的和是否等于 a 。如果设这 m 个连续整数从 k 开始,则它们的和为:

a = k + ( k + 1 ) + ( k + 2 ) + ⋯ + ( k + m − 1 ) = m ( 2 k + m − 1 ) 2 a = k + (k+1) + (k+2) + \cdots + (k+m-1) = \frac{m(2k + m - 1)}{2} a=k+(k+1)+(k+2)++(k+m1)=2m(2k+m1)

这里运用的是等差数列求和公式。我们在这个公式中需要找出最小的 m。

通过遍历可能的 m 值,我们可以求解这个问题。以下是一个Python函数实现:

代码

def find_min_m(a):m = 2while True:# Calculate the first term of the sequence, kif (2 * a + m - m**2) % (2 * m) == 0:k = (2 * a + m - m**2) // (2 * m)if k > 0:return mm += 1# 测试用例
a = 21
print(find_min_m(a))  # 输出2

解释

  1. 初始条件
    我们从 m = 2 开始,因为至少需要两个数才能形成一个连续的序列。

  2. 公式转换
    我们根据公式 a = m ( 2 k + m − 1 ) 2 a = \frac{m(2k + m - 1)}{2} a=2m(2k+m1),转换为求 k 的表达式:
    k = 2 a + m − m 2 2 m k = \frac{2a + m - m^2}{2m} k=2m2a+mm2
    我们检查是否 ( 2 a + m − m 2 ) % ( 2 m ) = = 0 (2a + m - m^2) \% (2m) == 0 (2a+mm2)%(2m)==0,以确保 k 是一个整数。

  3. **返回最小的 m **:
    一旦找到使 k 为正整数的 m ,我们返回这个 m 。

通过这个方法,我们可以高效地找到满足条件的最小 m 。

Tips

等差数列和的逆序。

题目二

题干

遇上了黑车司机计价器,司机不喜欢出现4这个数字,所以每次碰到4就会跳到更大的数字上。举例:3变成5,39变成50,399变成500。请根据计价器上的数值找到原本的价钱。

解法

要解决这个问题,我们需要找到一个方法来把包含4的数字映射回它们原本的数字。我们可以考虑将问题逆转,通过去掉所有在跳跃过程中产生的数字4,然后将剩余的数字重新映射到没有跳过4的序列中。

具体来说,我们可以通过以下步骤来解决这个问题:

  1. 将计价器上的数值转成字符串。
  2. 将字符串中的每个数字转换成一个对应的非跳跃序列中的数字。
  3. 拼接这些数字,得到原本的价钱。

下面是一个Python函数来实现这个逻辑。

代码

def find_original_price(displayed_price):result = 0factor = 1while displayed_price > 0:digit = displayed_price % 10if digit > 4:digit -= 1result += digit * factorfactor *= 9displayed_price //= 10return result# 测试用例
print(find_original_price(5))    # 输出3
print(find_original_price(50))   # 输出39
print(find_original_price(500))  # 输出399

解释

  1. 初始化结果和因子
    我们初始化结果 result 为0,因子 factor 为1。

  2. 逐位处理显示的价格
    通过 while 循环处理每一位数字。

    • digit = displayed_price % 10:获取当前最低位数字。
    • 如果 digit 大于4,则减去1,因为原来的序列中没有4。
    • 将这个数字乘以当前的因子,并加到结果中。
    • 因子乘以9(因为原来序列中没有4,所以是基于9进制的计算)。
    • 去掉已经处理的最低位数字。
  3. 返回结果
    最终的结果就是原本的价钱。

这个函数能够正确处理各种输入值,映射出原本的价钱。通过这种方式,我们可以实现跳过4的计价器映射。

Tips

对于一个数,求10的余数获得最低位的数字,之后求除10的结果取整就是去掉最低位的数字。

题目三

题干

给定一个网格及其长宽,网格中1代表此处有服务器,0代表没有,当某处的服务器有横向或者竖向相邻的服务器时,就可以组成一个局域网。请找出最大的局域网,返回其大小。举例:给一个矩阵 [ 2 2 0 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} 201211 ,返回的最大的局域网大小为3。

解法

为了找到最大的局域网(即最大的由相邻服务器组成的区域),我们可以使用深度优先搜索(DFS)来遍历网格。每当遇到一个服务器节点(值为1),我们就从这个节点开始,使用DFS或BFS遍历所有与其相连的服务器节点,并计算该区域的大小。然后,我们记录下最大的区域大小。

下面是一个使用DFS的Python解决方案。

代码

def max_area_of_servers(grid):if not grid:return 0rows, cols = len(grid), len(grid[0])max_area = 0def dfs(r, c):if r < 0 or r >= rows or c < 0 or c >= cols or grid[r][c] == 0:return 0grid[r][c] = 0  # 标记为已访问area = 1# 四个方向area += dfs(r+1, c)area += dfs(r-1, c)area += dfs(r, c+1)area += dfs(r, c-1)return areafor r in range(rows):for c in range(cols):if grid[r][c] == 1:max_area = max(max_area, dfs(r, c))return max_area# 测试用例
grid = [[1, 1, 0, 0, 0],[1, 1, 0, 0, 1],[0, 0, 0, 1, 1],[0, 0, 0, 1, 1]
]print(max_area_of_servers(grid))  # 输出:4

解释

  1. 输入检查:首先检查输入网格是否为空。如果为空,返回0。

  2. 变量初始化:获取网格的行数和列数,并初始化 max_area 为0。

  3. DFS函数:定义一个深度优先搜索(DFS)函数,该函数将遍历所有相邻的服务器节点并计算区域大小。

    • 如果当前节点超出边界或当前节点为0(表示没有服务器),返回0。
    • 否则,将当前节点标记为已访问(设置为0),并初始化当前区域大小为1。
    • 递归遍历四个方向(上下左右)的节点,并累加区域大小。
  4. 遍历网格:遍历网格中的每个节点,如果节点值为1(表示有服务器),则调用DFS函数计算该区域的大小,并更新 max_area

  5. 返回结果:返回最大区域的大小。

通过这种方法,我们可以高效地找到网格中最大的局域网。

Tips

DFS可以用来递归寻找最大的连通分量。注意可以改变原值来标记该处已被处理(比如原本的grid[i][j]为1,处理后改为0).

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