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线性代数实现p4
本系列文章是我学习李沐老师深度学习系列课程的学习笔记，可能会对李沐老师上课没讲到的进行补充。
本节是第五篇，由于CSDN限制，只能被迫拆分

矩阵计算

多元函数的等高线

此处参考视频：熟肉)多元微积分1.5，多元函数，等高线图——3Blue1Brown频道创始人 Grant 主讲，搬自可汗学院。 【自制中文字幕】
假设在三维坐标系中有这样一个多元函数构成的曲面：

我用平行于xOy平面的平面把这个曲面横着”切开“，曲面在不同平面上的投影的曲线投影到xOy平面上就成了等高线。

梯度（Gradient）

梯度向量的定义

梯度向量的方向是方向导数（变化率）最大的方向

【提前注释一下】刚才提到的方向导数的公式为
$$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{l}} \\ =f_x(x_0,y_0)cos\alpha +f_y(x_0,y_0)cos\beta \\ =(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\cdot (cos\alpha ,cos\beta ),这里写成了向量做内积的形式 \\ =▽f\cdot \overrightarrow{l_0} \end{gathered}$$
其中$\alpha$是向量$\overrightarrow{l}$与$x$轴（横轴）的夹角，$\beta$是向量$\overrightarrow{l}$与$y$轴（纵轴）的夹角，$\overrightarrow{l_0}$是向量$\overrightarrow{l}$单位化后的结果。

通过计算即可得出此结论，即梯度向量永远指向方向导数变化最大的方向。

梯度向量的方向是与多元函数曲面对应等高线正交（垂直）

令$x_1=x,x_2=y$，则上面李沐老师讲的这一块是想说明曲面$f(x,y)=x^2+2y^2$在xOy平面上对应的等高线与梯度向量方向正交，而且梯度向量的方向是该函数变化率最大的方向。

P.S

终于把这篇看完了，对于我这个考考研数学二的学生来说，这篇太难懂了，查了大量资料，用了很长一段时间才看完，估计下面的章节还会有挑战，慢慢看吧