课程地址和说明
线性代数实现p4
本系列文章是我学习李沐老师深度学习系列课程的学习笔记，可能会对李沐老师上课没讲到的进行补充。
本节是第五篇，由于CSDN限制，只能被迫拆分
矩阵计算
多元函数的等高线
此处参考视频：熟肉)多元微积分1.5，多元函数，等高线图——3Blue1Brown频道创始人 Grant 主讲，搬自可汗学院。 【自制中文字幕】
假设在三维坐标系中有这样一个多元函数构成的曲面：
我用平行于xOy平面的平面把这个曲面横着”切开“，曲面在不同平面上的投影的曲线投影到xOy平面上就成了等高线。
梯度（Gradient）
梯度向量的定义
梯度向量的方向是方向导数（变化率）最大的方向
【提前注释一下】刚才提到的方向导数的公式为
∂ z ∂ l → = f x ( x 0 , y 0 ) c o s α + f y ( x 0 , y 0 ) c o s β = ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) ⋅ ( c o s α , c o s β ) , 这里写成了向量做内积的形式 = ▽ f ⋅ l 0 → \frac{\partial z}{\partial\overrightarrow l}\\ =f_{x}(x_{0},y_{0})cos{\alpha}+f_{y}(x_{0},y_{0})cos{\beta}\\=(f_{x}(x_{0},y_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0}))\cdot (cos{\alpha},cos{\beta}),这里写成了向量做内积的形式 \\=\bigtriangledown f\cdot \overrightarrow {l_{0}} ∂l∂z=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅(cosα,cosβ),这里写成了向量做内积的形式=▽f⋅l0
其中 α \alpha α是向量 l → \overrightarrow l l与 x x x轴（横轴）的夹角， β \beta β是向量 l → \overrightarrow l l与 y y y轴（纵轴）的夹角， l 0 → \overrightarrow {l_{0}} l0是向量 l → \overrightarrow {l} l单位化后的结果。
通过计算即可得出此结论，即梯度向量永远指向方向导数变化最大的方向。
梯度向量的方向是与多元函数曲面对应等高线正交（垂直）
令 x 1 = x , x 2 = y x_{1}=x,x_{2}=y x1=x,x2=y，则上面李沐老师讲的这一块是想说明曲面 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 f(x,y)=x^{2}+2y^{2} f(x,y)=x2+2y2在xOy平面上对应的等高线与梯度向量方向正交，而且梯度向量的方向是该函数变化率最大的方向。
P.S
终于把这篇看完了，对于我这个考考研数学二的学生来说，这篇太难懂了，查了大量资料，用了很长一段时间才看完，估计下面的章节还会有挑战，慢慢看吧
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