1952年，DUFFIN在研究非调和Fourier级数时引入了Hilbert空间中框架的概念，然而并没有引起很大的反响。1986年，DAUBECHIES研究发现利用框架可以将L2(R)中的函数展开成类似标准正交基的级数，并且用框架研究函数时所需的条件要比用标准正交基宽松的多。因此，框架理论才开始蓬勃发展起来。在框架理论研究中，框架扰动是一个活跃的研究方向，它主要研究的是两个序列，若其中一个是框架，当另外一个序列与这个框架满足何种“接近”时，该序列也构成一个框架。研究某一Hilbert空间上具有特殊结构形式的框架是框架研究中一种重要的研究类型。

小波型框架就是一种具有特殊结构形式的框架，其思想来源于小波理论。在小波理论中，一组基是由Hilbert空间H中的一个可数酉算子族和一个（或有限个）向量构成的。如果U是H上的一个酉算子，Ψ是与之对应的母小波，那么UΨ就是H的一组标准正交基，小波理论中研究的基就是这种形式。

鉴于此，采用小波样条框架方法对一维时间序列信号进行降噪，运行环境为MATLAB R2018A，测试信号为转子振动信号，发动机气门正常振动信号，发动机进气门故障振动信号，发动机排气门故障振动信号，发动机销子活塞故障振动信号，发动机曲轴磨损故障振动信号。

%% Load and visualize the signal
clc;clear
load ekgTrend.mat
helperTimeDomain(t,ekg_Trend,'EKG Signal',60,'r');
%% Decompose signal into 8 subbands
w = modwt(ekg_Trend,8);
%% Multiresolution view of signal
mra1 = modwtmra(w);
approxRecon = mra1(9,:);viewLevel8Approximation(t,ekg_Trend,approxRecon);
%% Visualize approximation subbands for level 9 and level 10
viewApproximationSubbandReconstruction(t,ekg_Trend);
%% Isolate and visualize the trend
isolateTrendPlot(t,ekg_Trend);
%% Remove the trend component from the signal
coeffs = modwt(ekg_Trend,10); 
coeffs(11,:) = 0;          %setting approximation coefficients at level 10 to zero
sigOut = imodwt(coeffs);
完整代码可通过知乎学术咨询获得：https://www.zhihu.com/consult/people/792359672131756032?isMe=1
viewDetrendedSignal(t,ekg_Trend,sigOut)

工学博士，担任《Mechanical System and Signal Processing》《中国电机工程学报》《控制与决策》等期刊审稿专家，擅长领域：现代信号处理，机器学习，深度学习，数字孪生，时间序列分析，设备缺陷检测、设备异常检测、设备智能故障诊断与健康管理PHM等。