2024年MathorCup数模竞赛C题超详细解题思路

妈妈杯本次比赛报名队伍号高达12500，这也就意味着大概一万只队伍参加报名，仅仅在报名人数这一项，妈妈杯已经成为美赛国赛之后的第三大竞赛。C题作为本次竞赛最简单也最容易获奖的题目，本文将给大家带来手把手超详细解题思路。

注释：最容易获奖是因为，数模竞赛获奖是按着百分比获奖的，并分指定ABCD每一道题目只有400队能获得国奖，而是每道题目选择的50%都可以获奖；选择人数少，一是题目难，二是选择的人都是数学建模的变态。如果选择这种题目，我们需要打败50%的数模老手以及数模变态才可以获奖。

反之，选择选题人数最多的。选择人主要是萌新、小白，都是不太懂数模的。我们只需要淘汰50%的小白即可，加上我们的资料可以保证大家一定可以获奖。

首先，正式解题之前我们需要做数据预处理。数据预处理是所有数据类数模竞赛所必须的步骤，百分制的评审大概可以占到10-15分的分值。对于该题目主要的数据预处理工作在于异常值的判定。例如，对于附件一存在很大的值10万+，也存在很小的数据。对于这种的边缘值我们需要使用一些方式进行判定。比较合理高大上的方式就是首先判定数据分布方式，对于正态分布数据使用3西格玛原则判定异常值，对于非正态分布数据使用箱型图判定异常值。

处理完之后，我们就发现极端数据11000是由于双十一，因此对于判定的异常值，我们需要结合实际情况在进行后续处理。

问题一，建立货量预测模型，对57 个分拣中心未来 30 天每天及每小时的货量进行预测，将预测结果写入结果表1和表2中。

问题一本质就是预测模型，需要对两个主体进行预测，分别是日货量预测模型、小时货量预测模型。对于预测模型，在数学建模没有对错之分，因此可以随意地选择模型。但是预测结果精度越好的模型，得分也会稍微的高一些。这里给大家一些建议：

对于日货量预测模型，我们需要对每一个地区的货量分别进行一个月的预测，选择合适的时间序列预测模型，例如SARIMA（季节性自回归综合移动平均模型），ARIMA、prohet或使用机器学习模型如随机森林、XGBoost。其中，想拿国一可以适当的了解一下prohet（去年国赛指定答案模型，两万七千只队伍仅有一个做出来了）

对于小时货量预测模型，这里有两种思路。其一，将24小时作为一个周期，直接建立时间序列预测，用三万个数据进行预测即可。其二，将每一个地区每天同一时间的数据单独拿出来，一共30组。对这三十组进行预测。这样预测数据量减小，但是还需要进行30步预测，可能预测精度存在一定问题。

对于模型的选择，大家可以根据自己队伍的实力进行选择即可。想要单纯的追求模型复杂度，可以考虑我之前保奖课讲过的加权平均预测，使用多种预测模型，进行加权。以误差最小为目标函数，权重和为1为约束条件，将多种预测模型进行加权起来。类似于下面这种方式。

问题二，过去 90 天各分拣中心之问的各运输线路平均货量如附件3所示。若未来 30 天分拣中心之问的运输线路发生了变化,具体如附件4所示。根据附件 1-4,请对57个分拣中心未来 30 天每天及每小时的货量进行预测,并将预测结果写入结果表3和表4中。

其本质还是预测模型，与问题一相对来讲。问题一是y和t进行建模，问题二就是引入几个x,建立 y和x,t的预测模型。即引入一些新的指标。因此，我们需要基于附件三四的数据引入指标进行预测即可。预测模型的选择可以选择与问题一相同，这样可以保证论文模型的整体性；也可以换一个新的模型，这样可以增加模型的复杂度，但是整体性会下降。

另类思路：

选择新指标为运输线路货量变动【计算每个运输线路在未来的变化情况，这可能包括新的线路增加或现有线路的变化。】，历史货量信息【使用附件3提供的历史平均货量来预估新线路或变更线路的货量影响】

数据整合：整合附件3的货量数据和附件4的线路变化数据。对于新出现的线路，如果没有历史数据，可能需要估计其货量或使用类似线路的平均货量作为预估。

特征构建：将运输线路作为特征加入模型，每个线路可以是一个特征，其值为货量或变化量。

路线：由始发分拣中心和到达分拣中心组成的标识。

货量：该线路的历史平均货量，对于无历史记录的线路为0。

接下来，我们可以创建以下特征：

是否新线路：如果货量为0，则认为这是新线路。

历史货量：已有的货量数据，将直接用作预测模型的输入。

预测模型更新：根据整合后的数据集更新货量预测模型，可能需要使用多元回归、随机森林或神经网络等方法。使用这些特征，我们可以准备适合于预测的数据集，并选择适合的预测模型，例如随机森林、XGBoost或神经网络等。为了进一步处理，我们需要确定数据的最终形式，并考虑如何将这些数据输入到模型中。具体结果如下所示

利用该结果进行，对问题一预测结果进行等比放缩即可。

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
from tensorflow.keras.optimizers import Adam
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import xgboost as xgb
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import matplotlib.pyplot as plt# 加载数据
attachment3 = pd.read_csv('附件3.csv', encoding='GBK')
attachment4 = pd.read_csv('附件4.csv', encoding='GBK')# 创建路线列便于合并
attachment3['路线'] = attachment3['始发分拣中心'] + '-' + attachment3['到达分拣中心']
attachment4['路线'] = attachment4['始发分拣中心'] + '-' + attachment4['到达分拣中心']# 合并数据，附件4为基础进行左连接
merged_data = attachment4.merge(attachment3[['路线', '货量']], on='路线', how='left')
merged_data['货量'].fillna(0, inplace=True)  # 填充未知货量为0# 特征构建
X = merged_data.drop(columns=['始发分拣中心', '到达分拣中心', '路线', '货量'])
X['是否新线路'] = (merged_data['货量'] == 0).astype(int)
y = merged_data['货量']
# 实例化一个 StandardScaler 对象
scaler = StandardScaler()# 使用 StandardScaler 对特征数据 X 进行标准化处理
X_scaled = scaler.fit_transform(X)  # 确保 X 已经定义并包含了您希望模型学习的特征# 使用 train_test_split 将数据分割为训练集和测试集
X_train_scaled, X_test_scaled, y_train, y_test = train_test_split(X_scaled, y, test_size=0.2, random_state=42)# 构建神经网络模型
model = Sequential([Dense(64, activation='relu', input_shape=(X_train_scaled.shape[1],)),Dense(64, activation='relu'),Dense(1)
])# 编译模型
model.compile(optimizer=Adam(learning_rate=0.01), loss='mean_squared_error')# 增加模型的复杂度
model = Sequential([Dense(128, activation='relu', input_shape=(X_train_scaled.shape[1],)),Dense(128, activation='relu'),Dense(64, activation='relu'),Dense(1)
])# 添加Dropout和正则化
from tensorflow.keras.layers import Dropout
from tensorflow.keras.regularizers import l2model = Sequential([Dense(128, activation='relu', input_shape=(X_train_scaled.shape[1],), kernel_regularizer=l2(0.001)),Dropout(0.5),Dense(128, activation='relu', kernel_regularizer=l2(0.001)),Dropout(0.5),Dense(64, activation='relu', kernel_regularizer=l2(0.001)),Dense(1)
])# 使用更慢的学习率和不同的优化器
optimizer = Adam(learning_rate=0.001)
model.compile(optimizer=optimizer, loss='mean_squared_error')# 训练模型
history = model.fit(X_train_scaled, y_train, validation_split=0.2, epochs=100, verbose=1)# 预测并计算RMSE
y_pred_nn = model.predict(X_test_scaled).flatten()
rmse_nn = mean_squared_error(y_test, y_pred_nn, squared=False)
print("Neural Network RMSE:", rmse_nn)# 对整个数据集进行预测
y_full_pred_nn = model.predict(X_scaled).flatten()plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用SimHei字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 正确显示负号
# 可视化实际与预测货量
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.scatter(merged_data.index, merged_data['货量'], color='blue', label='实际货量', alpha=0.6)
plt.scatter(merged_data.index, y_full_pred_nn, color='red', label='预测货量 (NN)', alpha=0.6)
plt.title('实际货量 vs 预测货量 (神经网络)')
plt.xlabel('数据索引')
plt.ylabel('货量')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()# ...（前面的代码不变，包括数据准备、模型构建、训练和预测）# 将预测结果添加到原始的DataFrame中
merged_data['预测货量_NN'] = model.predict(X_scaled).flatten()# 输出预测结果到CSV文件
output_filename = '预测结果.csv'
merged_data.to_csv(output_filename, index=False)print(f"预测结果已保存到文件: {output_filename}")

问题三、假设每个分拣中心有60名正式工，在人员安排时将优先使用正式工，若需额外人员将使用临时工。请基于问题2的预测结果建立模型，给出未来 30 天每个分拣中心每个班次的出勤人数，并写入结果表5中。要求在每天的货量处理完成的基础上，安排的人天数(例如30天每天出200名员工，则总人天数为 6000)尽可能少，且每天的实际小时人效尽量均衡。

优化模型，极值问题的求解。根据问题二的结果设置目标函数、决策变量、约束条件即可。优化模型问什么设什么因此直接可以设置目标函数：最小化总人天数Z ，

决策变量：

xij：第 i 天第 j 个班次的正式工人数。

yij：第 i 天第 j 个班次的临时工人数

总人天数Z=∑∑(xij+yij)

约束条件每班次的总分拣量不能少于预测货量

正式工使用不超过60人

人员非负性约束

正式工每天最多出勤一个班次

对于这些约束条件，我们需要设置一些变量进行表述

参数：

P：正式工的最高小时人效（25包裹/小时）。

T：临时工的最高小时人效（20包裹/小时）。

Ci：第 i 天每个分拣中心的预测货量。

N：每个分拣中心的正式工人数（60名）。

每班次的总分拣量不能少于预测货量。

Pxij+yijT≥6Ci∀i,j

正式工使用不超过60人。

xi,j≤60∀i,j

人员非负性约束。

∀,xi,j≥0,yi,j≥0∀i,j

正式工每天最多出勤一个班次。

∑xi,j,k≤1∀i,k

问题4:研究特定分拣中心的排班问题，这里不妨以SC60为例，假设分拆中心 SC60 当前有 200名正式工，请基于问题2的预测结果建立模型，确定未来 30 天每名正式工及临时工的班次出勤计划，即给出未来 30 天每天六个班次中，每名正式工将在哪些班次出勤，每个班次需要雇佣多少临时工，并写入结果表6中。每名正式工的出勤率(出的天数除以总天数30)不能高于 85%，且连续出勤天数不能超过7天。要求在每天货量处理完成的基础上，安排的人天数尽可能少，每天的实际小时人效尽量均衡且正式工出勤率尽量均衡。

对于问题四，与问题三相同需要进入一些新的约束条件。主要在于出勤率尽量均衡，两种考虑方式其一可以引入平衡因子，将其作为目标函数的一项目标函数：最小化总人天数，并尽量平衡正式工的出勤率。

Minimize1∑yi,j+λ×StdDev(Attendance Rate)

其中，λ 是平衡因子，StdDev是出勤率的标准差。

这种方式λ 不好确定，也可以采用将出勤率尽量均衡试做是一个约束条件，我们可以设置出勤率的标准差在一定区间内

参数：

P：正式工的最高小时人效（25包裹/小时）。

T：临时工的最高小时人效（20包裹/小时）。

Ci：第 i 天SC60的预测货量。

N：SC60的正式工人数（200名）。

决策变量：

xi,j,k：第 i 天第 j 个班次是否有第 k 名正式工出勤（二元变量，0或1）。

yi,j：第 i 天第 j 个班次需要雇佣的临时工人数。