3377.约数的个数

3377. 约数的个数 - AcWing题库
难度：简单
时/空限制：1s / 64MB
总通过数：3529
总尝试数：6834
来源： 清华大学考研机试题
算法标签 数学知识约数试除法因式分解

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题目内容

输入 n 个整数，依次输出每个数的约数的个数。

输入格式

第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数 ai。

输出格式

共 n 行，按顺序每行输出一个给定整数的约数的个数。

数据范围

1≤n≤1000,
1≤ai≤10^9

输入样例：

5
1 3 4 6 12

输出样例：

1
2
3
4
6

题目解析

分别计算每个整数的约数的个数

用试除法的话，时间复杂度是$\sqrt{10^9}$，3万多
有1000个数据
3000万的计算量

优化

求约数个数是有一个公式的
把a的因式分解求出来
$$a=P_1^{a_1}{P}_2^{a_2}\dots P_k^{a_k}$$
a的所有约数d
包含的质因子只能从这k个质因子中选
它不可能包括这k个质因子以外的质因子，如果包含的话就不能整除a了

d的不同就取决于每个质因子的次数
设
$$d=P_1^{b_1}{P}_2^{b_2}\dots P_k^{b_k}$$
每个质因子是完全独立的
只要保证
$$0\le b_i\le a_i$$
超过的话就不能整除了
只要不超过，就一定是可以整除的，是一个约数

满足这个条件下，d总共有多少种选择
每一个b都是独立的
如果想求选法个数的话，可以用乘法原理

先看一下$b_1$的选法的数量，$b_1$可以从0选到$a_1$，所以$b_1$的选法就是$a_1+1$种选择
$b_2$就是$a_2+1$
以此类推，$b_k$的选法数量就是$a_k+1$

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因此约数个数就等于
每个质因子次数+1 相乘

可以用分解质因式的方式来求约数个数

代码

试除法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;int calc(int x)
{//res表示约数个数int res = 0;for (int i = 1; i <= x / i; i ++)if (x % i == 0){res ++;if (i != x / i) res ++;}return res;
}int main()
{int n;cin >> n;while (n--){int x;cin >> x;//输出x的约数的个数cout << calc(x) << endl;}return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;int calc(int x)
{//res表示约数个数//要连乘，连乘的零元就是1int res = 1;//把x分解质因式for (int i = 2; i <= x / i; i ++)//如果i是x的一个因数的话，i此时一定是质因子if (x % i == 0){//用s表示i的次数int s = 0;//把x当中的i除干净while (x % i == 0) x /= i, s ++;res *= (s + 1);}//如果x大于1，表示存在大于根号x的质因子，次数是1if (x > 1)res *= 2;return res;
}int main()
{int n;cin >> n;while (n--){int x;cin >> x;//输出x的约数的个数cout << calc(x) << endl;}return 0;
}