0基础刷图论最短路 2（从ATcoder 0分到1800分）

AT最短路刷题2（本文难度rated 1000~ 1200）

题目来源：Atcoder
题目收集：
https://atcoder-tags.herokuapp.com/tags/Graph/Shortest-Path
（里面按tag分类好了Atcoder的所有题目，类似cf）
（访问需要魔法）
这算是一个题单，各位有兴趣可以按照这个顺序来刷。
我的代码仅供参考。
会提示关键性质和步骤。部分有注释。
洛谷、知乎、可以搜到题解。

文章目录

AT最短路刷题2（本文难度rated 1000~ 1200）
- 1-**Souvenir**
- 2-**Train**
- 3-**バスと避けられない運命**
- 4-**Crystal Switches**
- 5-**Shortest Path Queries 2**
- 6- Jumping Takahashi 2
- 7-**Skiing**
- 8-**Wizard in Maze**

1-Souvenir

https://atcoder.jp/contests/abc286/tasks/abc286_e

双关键字最短路。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18int dist[301][301];
int value[301][301];
int a[301];
char s[301][301];
int n;void dijkstra(int start){vector<bool> flag(n+1);for(int i=1;i<=n;i++){dist[start][i]=INF;}dist[start][start]=0;priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;q.push({0,start});value[start][start]=a[start];dist[start][start]=0;while(q.size()){int u = q.top().second;q.pop();if(flag[u])continue;flag[u]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(i==u)continue;if(s[u][i]=='N')continue;if(dist[start][i]>dist[start][u]+1){dist[start][i] = dist[start][u]+1;value[start][i] = value[start][u] + a[i];q.push({dist[start][i],i});}else if(dist[start][i]==dist[start][u]+1 and value[start][i]<value[start][u]+a[i]){value[start][i] = value[start][u] + a[i];q.push({dist[start][i],i});}}}
}
void slove(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>s[i][j];for(int i=1;i<=n;i++){dijkstra(i);}int Q;cin>>Q;while(Q--){int u,v;cin>>u>>v;if(dist[u][v]==INF)cout<<"Impossible"<<endl;else cout<<dist[u][v]<<' '<<value[u][v]<<endl;}
}signed main(){slove();
}

2-Train

https://atcoder.jp/contests/abc192/tasks/abc192_e

最短路板子

/*对于每一条边：
火车发动的时间是： t = kx
所以可以开两个数组。数组1，记录 ai --> bi 城市的火车发车间隔，
数组2，记录 ai --> bi 代价如何写最短路？数组3记录 从起点到各点的最小值。
*/#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18const int N = 1e5+7;
struct node{int v;int w;int k;
};vector<vector<node>> g(N);
int dist[N];
bool flag[N];
int n,m;
void dijkstra(int x){for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=INF;dist[x]=0;priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;q.push({0,x});while(q.size()){int u = q.top().second;q.pop();if(flag[u])continue;flag[u]=1;for(auto i:g[u]){ //枚举能去的所有城市int v = i.v , w = i.w , k = i.k;int now = dist[u]; //当前时刻// 检查此时是不是刚好发车if(now%k==0){//如果刚好发车，那么直接加上边权if(dist[v]>dist[u]+w){dist[v] = dist[u]+w;q.push({dist[v],v});}}else{ //只能等下一班车int next = now / k + 1;now = k*next;if(dist[v]>now+w){dist[v]=now+w;q.push({dist[v],v});}}}}
}void slove(){cin>>n>>m;int x,y;cin>>x>>y;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w,k;cin>>u>>v>>w>>k;g[u].push_back(node{v,w,k});g[v].push_back(node{u,w,k});}dijkstra(x);if(dist[y]==INF)cout<<-1<<endl;else cout<<dist[y]<<endl;}signed main(){slove();
}

3-バスと避けられない運命

https://atcoder.jp/contests/abc012/tasks/abc012_4

spfa板子

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18
const int N = 305;
int dist[N][N];
void slove(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dist[i][j]=INF;}dist[i][i]=0;}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;dist[u][v]=w;dist[v][u]=w;}for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dist[i][j] = min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);}}}int ans = INF;for(int i=1;i<=n;i++){int cnt=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(dist[i][j]==INF)continue;cnt = max(cnt,dist[i][j]);}ans = min(cnt,ans);}cout<<ans<<endl;
}signed main(){slove();
}

4-Crystal Switches

https://atcoder.jp/contests/abc277/tasks/abc277_e

/*给你一张图：
如果边权是0，则代表开关关闭，不能通过
如果边权是1，代表开关打开，能通过对于每个结点，记录：1、结点编号
2、当前结点被反转
3、步数从起点开始bfs
遍历所有u能去的点，
如果边权是0：打开开关，加入状态： node = { v , 1 , step+1 }
如果边权是1：不管开关，加入状态： node = { v , 0 , step+1 }接下来对于v，如果图中所有边被反转：那么边权原来是1的，现在就是0所以还是要操作开关，node = { i , 0 , step+1 }
如果边权原来是0的，现在就是1所以不需要操作开关，node = { i , 1 , step+1 }*/#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18struct node{int u;int step;int opt;bool operator < (node b)const{return step>b.step;}
};struct gg{int v;int w; //边权
};const int N = 2e5+7;
vector<gg> g[N];//存图
vector<int> s(N); //哪些结点上面有开关
int n,m;int flag[N][2]; // 每个结点的每种状态只访问一次。
int dist[N]; //1到n的最短路void dijkstra(){for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=INF;dist[1]=0;priority_queue<node> q;node now;now.u = 1;now.opt=0;now.step=0;q.push(now);while(q.size()){int u = q.top().u;int step = q.top().step;int opt = q.top().opt;q.pop();if(flag[u][opt])continue;flag[u][opt]=1;if(u==n){cout<<step<<endl;return;}node nxt;for(auto i:g[u]){int v = i.v;int w = i.w;//第一种情况，当前图没被反转，且该边能通过if(opt==0 and w==1){nxt.step = step+w;nxt.u = v;nxt.opt = opt;q.push(nxt);}else if(opt==0 and w==0)//第二种情况，当前图没被反转，但该边不能通过{//检查这个点是否有开关if(s[u]==1){nxt.step = step +1;nxt.u = v;nxt.opt = 1;q.push(nxt);}// 如果此路不通，且u没有开关，那么爱莫能助}else if(opt==1 and w==1) //如果图被反转了一次，此时w=1 相当于不能通过{if(s[u]==1) //如果有开关，那么再反转一次全图{nxt.step = step+1;nxt.u = v;nxt.opt = 0;q.push(nxt);}}else if(opt==1 and w==0) //如果地图被反转1次，此时w=0，代表可以通过{nxt.step = step+1;nxt.u = v;nxt.opt = opt;q.push(nxt);}}}cout<<-1<<endl;}
void slove(){int k;cin>>n>>m>>k;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;g[u].push_back(gg{v,w});g[v].push_back(gg{u,w});}for(int i=1;i<=k;i++){int t;cin>>t;s[t]=1;}dijkstra();}signed main(){slove();
}

5-Shortest Path Queries 2

https://atcoder.jp/contests/abc208/tasks/abc208_d

纯板子，呆题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18const int N = 405;
int dist[N][N];void slove(){int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dist[i][j]=INF;}dist[i][i]=0;}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;dist[u][v]=w;}int ans = 0;for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dist[i][j] = min(dist[i][j] , dist[i][k] + dist[k][j]);if(dist[i][j]!=INF){ans += dist[i][j];}}}}cout<<ans<<endl;
}signed main(){slove();
}

6- Jumping Takahashi 2

https://atcoder.jp/contests/abc257/tasks/abc257_d

二分+bfs

/*题目的意思是：让我们选择一个起始的蹦床。能从这个蹦床去到所有的蹦床的最小跳跃高度。然后找到这些最小跳跃高度中最小的那一个。我们可以二分跳跃高度 s然后枚举每一个起点。判断，这个跳跃高度是否能跳到任意一个蹦床。现在，问题就是，如何写check函数？可以写一个bfs，求连通性。如果最终连通，那么这个s是ok的时间复杂度： O(n^2 * log(1e10))*/#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18struct node{int id;int x;int y;int p;
};const int N =201;
node a[N];int ans = INF; //答案
int n;
bool flag[201];bool check(int mid,int start){memset(flag,0,sizeof flag);queue<node> q;q.push(a[start]);flag[start]=1;while(q.size()){int x = q.front().x;int y = q.front().y;int p = q.front().p;q.pop();node nxt;for(int i=1;i<=n;i++){if(flag[i])continue;int xx = a[i].x;int yy = a[i].y;int dist = abs(x-xx)+abs(y-yy);if(mid*p>=dist){q.push(a[i]);flag[i]=1;}}}for(int i=1;i<=n;i++){if(flag[i]==0)return false;}return true;
}
void work(int start){//二分跳跃高度int l=1, r = 1e10;while(l<r){int mid = l+r>>1;if(check(mid,start)){r=mid;}else{l=mid+1;}}ans = min(ans,l);
}
void slove(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].p;a[i].id=i;}for(int i=1;i<=n;i++){work(i);}cout<<ans<<endl;
}signed main(){slove();
}

7-Skiing

https://atcoder.jp/contests/abc237/tasks/abc237_e

最长路的处理方法之一：1、所有边权都乘上-1，然后跑spfa
值得注意的是，此题的时间需要不超过 O(NM)2、跑不了spfa，只能跑dijkstra
此时必须要从边权的计算方式，题目含义等条件入手。
来消除负权边。（吃经验 or 思维）

/*重力势能只与初始状态和末尾状态有关。初始状态是h[1],末尾状态是h[i]重力势能的变化就是 初状态 - 末状态 = h[1] - h[i]但是，这题没有这么简单。如果你走上坡路，那么消耗的是同等高度走下坡路的两倍。如果你走下坡路，只要你这个点是中间状态，那么一律不需要管，因为下坡路的贡献最终都会被抵消，剩下h[1]-[i]所以得到一个结论：假如初始状态和末尾状态都确定了，那么我们要想让最终答案最大。我们就必须使得走的上坡路的总代价越小 （这里说的是绝对值）也就是走最短路。而由于下坡路是没有影响的，所以下坡路的边权为0上坡路的边权 为1倍的  abs(h[u]-h[v])*/#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define PII pair<int,int>
#define INF 1e18
const int N = 2e5+7;struct node{int v;int w;
};vector<node> g[N];int n,m;
int h[N];
int dist[N];
bool flag[N];
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> q;void dijkstra(){for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=INF;dist[1]=0;q.push({0,1});while(q.size()){int u = q.top().second;q.pop();for(auto i:g[u]){int w = i.w;int v = i.v;if(dist[v]>dist[u]+w){dist[v]=dist[u]+w;q.push({dist[v],v});}}}
}
void slove(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>h[i];for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;cin>>u>>v;int w = h[v]-h[u];if(w<0){ // u > vg[u].push_back(node{v,0});g[v].push_back(node{u,-w});}else // u<v{g[u].push_back(node{v,w});g[v].push_back(node{u,0});}}dijkstra();int ans = -INF;for(int i=1;i<=n;i++){ans = max(ans, h[1]-h[i] - dist[i]);}cout<<ans<<endl;}signed main(){slove();
}

8-Wizard in Maze

https://atcoder.jp/contests/abc176/tasks/abc176_d

bfs模板题

打的太多了，所以直接贴个答案上去。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<deque>
using namespace std;int h, w, ch, cw, dh, dw, dis[1005][1005];
//dis[i][j]表示从(ch, cw)出发到达(i, j)所消耗跳跃魔法次数的最小值
char a[1005][1005];
int dx[4] = {0, 0, -1, 1};
int dy[4] = {-1, 1, 0, 0};struct node
{ //从(ch, cw)出发到达(x, y)所消耗跳跃魔法次数的最小值tint x, y, t;
};deque<node> q;void bfs()
{q.push_front(node{ch, cw, 0});dis[ch][cw] = 0;while(!q.empty()){int x = q.front().x, y = q.front().y, t = q.front().t;q.pop_front();//(x,y)普通移动能达到的子结点插入队首for(int i = 0; i <= 3; i++){int x_new = x + dx[i], y_new = y + dy[i];if(x_new < 1 || x_new > h || y_new < 1 || y_new > w) continue;if(a[x_new][y_new] == '#') continue;if(dis[x_new][y_new] <= dis[x][y]) continue;q.push_front(node{x_new, y_new, t});dis[x_new][y_new] = t;}//(x,y)跳跃魔法移动能达到的子结点插入队尾for(int x_new = x - 2; x_new <= x + 2; x_new++)for(int y_new = y - 2; y_new <= y + 2; y_new++){if(x_new < 1 || x_new > h || y_new < 1 || y_new > w) continue;if(a[x_new][y_new] == '#') continue;if(dis[x_new][y_new] <= dis[x][y] + 1) continue;q.push_back(node{x_new, y_new, t + 1});dis[x_new][y_new] = t + 1;}}
}int main()
{cin >> h >> w;cin >> ch >> cw;cin >> dh >> dw;for(int i = 1; i <= h; i++)for(int j = 1; j <= w; j++)cin >> a[i][j];memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));bfs();if(dis[dh][dw] == 0x3f3f3f3f) cout << -1 << endl;else cout << dis[dh][dw] << endl;return 0;
}