二分查找（Binary Search）是一种在有序数组中查找目标值的算法，也称为折半查找。它通过将目标值与数组的中间元素进行比较，来确定目标值在数组的哪一部分，然后将搜索范围缩小一半，再次比较，直到找到目标值或者确定目标值不存在。

1. 基本思想

1. 首先，将数据集合按照某种顺序（通常是升序或降序）排列。
2. 然后，选择数据集合的中间元素进行比较，若目标值等于中间元素，则查找成功；若目标值小于中间元素，则在左半部分继续查找；若目标值大于中间元素，则在右半部分继续查找。
3. 重复以上步骤，直到找到目标值或者确定目标值不存在为止。

2. 算法步骤

二分查找的实现步骤如下：

1. 定义搜索范围的起始位置 left 和结束位置 right，初始时 left = 0，right = n-1，其中 n 是数组的长度。
2. 计算中间元素的位置 mid，即 mid = (left + right) / 2。
3. 将目标值与中间元素进行比较：
   • 如果目标值等于中间元素，则找到了目标值，返回其索引。
   • 如果目标值小于中间元素，则目标值可能在左侧，更新 right = mid - 1。
   • 如果目标值大于中间元素，则目标值可能在右侧，更新 left = mid + 1。
4. 重复步骤2和3，直到找到目标值或者搜索范围缩小为空。

3. 代码实现

下面是使用Java编写的二分查找算法示例：

public class BinarySearch {// 二分查找算法public static int binarySearch(int[] arr, int target) {int left = 0; // 左边界初始化为数组第一个元素的下标int right = arr.length - 1; // 右边界初始化为数组最后一个元素的下标// 当左边界小于等于右边界时，继续查找while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 计算中间位置的下标// 如果目标元素等于中间位置的元素，则返回中间位置if (arr[mid] == target) {return mid;} else if (arr[mid] < target) { // 如果目标元素大于中间位置的元素，更新左边界left = mid + 1;} else { // 如果目标元素小于中间位置的元素，更新右边界right = mid - 1;}}return -1; // 目标元素不存在于数组中}public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; // 有序数组int target = 7; // 目标元素int index = binarySearch(arr, target); // 调用二分查找算法// 输出查找结果if (index != -1) {System.out.println("目标元素 " + target + " 在数组中的索引位置为 " + index);} else {System.out.println("目标元素 " + target + " 不存在于数组中");}}
}

4. 复杂度分析

• 时间复杂度：𝑂(log⁡𝑛)，每次查找都将数据量减半。
• 空间复杂度：𝑂(1)，只需要常数级别的额外空间。

5. 优缺点

• 优点：效率高，适用于有序数据集合的查找。
• 缺点：要求数据集合必须有序；不适用于动态数据集合。

6. 应用场景

• 静态数据集合的查找，如数组、有序列表等。
• 需要快速定位元素位置的场景。
• 数据集合较大且有序的情况下，可以大幅减少查找时间。