图论基础入门

一、存图

存图方式一共有三种：邻接矩阵、邻接表、前向星
纯前向星还需要再加上排序的时间复杂度（当排序不是主要复杂度时适用），如果快排，时间复杂度是O(n log n)，可以用别的排序方式优化，即基数排序（不写纯前向星了，~~不会写基数排序~~ ）
事实上，不用排序也能模仿出来前向星的核心思路，即链式前向星，链式前向星也是最常用的存图方式

邻接矩阵

int edge[100][100],vis[100],m,n;
void add_edge(int u,int v,int w) //添加边
{edge[u][v]=w;
}
void dfs(int x) //遍历
{vis[x]=1;cout<<x;for(int i=1;i<=n;i++){if(edge[x][i]&&!vis[i]){cout<<"->";dfs(i);}}
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);}dfs(1);return 0;
}/*
test4 5
1 2 5
1 3 8
1 4 7
2 3 6
3 4 9*/

邻接表（链式前向星）

int n,m,cnt,head[100],vis[100];
struct edge{int nxt,to,w;
}e[100];
void add_edge(int u,int v,int w)
{e[++cnt] = (edge){head[u],v,w};head[u] = cnt;
}
void dfs(int x)
{cout<<x;vis[x]=1;for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){if(!vis[e[i].to]){cout<<"->";dfs(e[i].to);}}
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);}dfs(1);return 0;
}

邻接表（vector存边）

vector<pair<int,int>> e[100];
int n,m,vis[100];
void add_edge(int u,int v,int w) //存边
{e[u].push_back(make_pair(v,w));
}
void dfs(int x) //遍历
{cout<<x;vis[x]=1;for(int i=0;i<e[x].size();i++){if(!vis[e[x][i].first]){cout<<"->";dfs(e[x][i].first);}}
}
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin>>u>>v>>w;add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,w);}dfs(1);return 0;
}

二、遍历

由于邻接表使用广泛，因此以邻接表为例说明图的遍历

1.DFS遍历

DFS（Depth First Search），维护一个栈，每次从栈中取出点/放入点，以栈的出栈顺序遍历图
对于栈的使用，可以利用天然的递归栈 （递归形式） ，也可以手写栈 （递推形式）

DFS递归形式

void dfs(int x)
{cout<<x;vis[x]=1;for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){if(!vis[e[i].to]){cout<<"->";dfs(e[i].to);}}
}

DFS非递归形式

void dfs(int x)
{stack<int> order; //原先天然的递归栈用手写栈代替order.push(x);vis[x]=1;while(!order.empty()){x=order.top();order.pop();cout<<x<<"->";for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){if(!vis[e[i].to]){vis[e[i].to]=1;order.push(e[i].to);}}}
}

2. BFS遍历

BFS（Breadth First Search），维护一个队列，每次从队列中取出点/放入点，以队列的出队顺序遍历图

void bfs(int x)
{queue<int> order;order.push(x);vis[x]=1;while(!order.empty()){x=order.front();cout<<x<<" ";order.pop();for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){if(!vis[e[i].to]){vis[e[i].to]=1;order.push(e[i].to);}}}
}