【机器学习习题】估计一个模型在未见过的数据上的性能

您提到的不等式是统计学中的泛化误差界(generalization error bound),它用于估计一个模型在未见过的数据上的性能。这个不等式是由Hoeffding不等式和Union Bound组合而成的。在这个不等式中,我们有以下符号:

- P[|E_in(g) - E_out(g)| > ε]:这是泛化误差超过ε的概率
- ε:可容忍的差值。
- M:假设模型类别的大小(例如,假设我们正在训练的模型有多少个可能的候选)。
- N:数据集的大小。
- δ:可容忍的BAD概率(也称为置信度)。
- c:一个常数,通常设置为1。

您的目标是找到一个数据集的大小N,以便满足给定的ε和δ,并保证泛化误差不会超过ε。

根据不等式,我们可以设置:

P[|E_in(g) - E_out(g)| > ε] ≤ 2*M*exp(-2*ε^2*N)

然后,我们可以将这个概率与可容忍的BAD概率δ相等,以找到数据集的大小N:

2*M*exp(-2*ε^2*N) = δ

现在,您提供了ε=0.1,δ=0.05,M=100。我们可以将这些值代入上述方程,并解出N:

2*100*exp(-2*0.1^2*N) = 0.05

现在,我们来解这个方程以找到N:

exp(-2*0.1^2*N) = 0.05 / (2*100)

exp(-2*0.01*N) = 0.00025

使用自然对数的性质,我们可以继续解这个方程:

-2*0.01*N = ln(0.00025)

N = ln(0.00025) / (-2*0.01)

N ≈ 6907.76

因此,需要大约6908个数据点来满足给定的ε=0.1和δ=0.05,以确保泛化误差不会超过0.1。

请注意,这个结果是一个估计值,实际情况可能会受到数据分布和模型选择等因素的影响。此外,对于不同的问题和模型,可能需要不同的训练数据量来满足给定的泛化误差和置信度要求。

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