矩阵乘法

知阵乘法是《线性代数》中的基础内容，但在考察数学的算法题中也会出现。
本节我们学习基础的矩阵乘法规则。
每个矩阵会有一个行数和一个列数，只有当相乘的两个矩阵的左矩阵的列数等于右矩阵的行数
时，才能相乘，否则不允许做矩阵乘法。
例如，3x5的矩阵可以和5x7的矩阵做乘法，但是3x5的阵不能和4x7的矩阵做乘法N*M的知阵利M*K的矩阵做乘法后的矩阵大小为N*K
矩阵乘法的规则用一句话描述就是,第一个矩阵A的第i行和第二个矩阵B的第i列的各M个元素对应相乘再相加得到新矩阵C[i][j]的值

 例题

矩阵相乘

题目描述

小明最近刚刚学习了矩阵乘法，但是他计算的速度太慢，于是他希望你能帮他写一个矩阵乘法的运算器。

输入描述

输入的第一行包含三个正整数 N,M,K，表示一个 $NM的矩阵乘以一个的矩阵乘以一个MK的矩阵。接下来N行，每行M个整数，表示第一个矩阵。再接下来的M行，每行K$ 个整数，表示第二个矩阵。

0<<N,M,K≤100, 0≤ 矩阵中的每个数 ≤1000

输出描述

输出有 N 行，每行 K 个整数，表示矩阵乘法的结果。

输入输出样例

示例

输入

2 1 3
1
2
1 2 3

输出

1 2 3
2 4 6

package shuxeu;
import java.util.*;
public class juzhen {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scan=new Scanner(System.in);int m=scan.nextInt();int n=scan.nextInt();int k=scan.nextInt();int [][]a=new int[m][n];int [][]p=new int[n][k];for(int i=0;i<m;i++) {for(int j=0;j<n;j++) {a[i][j]=scan.nextInt();}}for(int i=0;i<n;i++) {for(int j=0;j<k;j++) {p[n][k]=scan.nextInt();}}int[][]sum=new int[m][k];for(int i=0;i<m;i++) {for(int j=0;j<k;j++) {for(int c=0;c<n;c++) {sum[i][j]+=a[i][c]*p[c][j];		}System.out.println(sum[i][j]);}System.out.println("");}}}

 整除

在计算机中，整数之间的除法往往是整除且向下取整的

同余 

同余是数论中非常重要的概念，意思是两个或多个数字x，对于一个模数M的余数是相等的
或者说在模M意义下，他们是相等的。
例如当M=7，x=[1,8,15,8,50]是同余的，这些x有一个共同的关系，就是x%M=1。

GCD和LCM

GCD( Greatest Common Divisor) 是最大公约数，LCM(Least Common Multiple) 是最小公倍数。大多数情况下，我们更关注GCD如果题口和LCM有关，也通常会转换成和GCD相关的。
gcd通过欧几里得辗转相除法得到，同样，初次学习不必过于深究其原理，学会使用最重要lcm通过gcd(x,y)*lcm(x,y)=x*y来得到。

gcd欧几里得辗转相除法

public int gcd(int a,int b){

        return b==0?a:gcd(b,a%b);

}

简单地理解一下，首先不妨设a<b,有gcd(a,b)=gcd(a,b-a)=gcd(a,b-2a)...=gcd(a,b%a)，又有
b%a<a，于是将他们两个调换位置，继续向下递归，直到b变为0，gcd(x,0)=x。

LCM求解方法

public int lcm(int a,int b){

        return a/gcd(a,b)*m;

}

推荐先做除法，再做乘法，避免溢出。

例题

最大公约数

题目描述

给定两个正整数A,B，求它们的最大公约数。

输入描述

第 1 行为一个整数 T，表示测试数据数量。

接下来的 T 行每行包含两个正整数 A,B。

1≤T≤10^5，1≤A,B≤10^9。

输出描述

输出共 T 行，每行包含一个整数，表示答案。

输入输出样例

示例 1

输入

5
2 4
3 7
5 10
6 8
7 9

输出

2
1
5
2
1

package gcd;
import java.util.*;
public class chapter1 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scan=new Scanner(System.in);long T=scan.nextLong();while(T-->0) {long A=scan.nextLong();long B=scan.nextLong();long sum=gcd(A,B);System.out.println(sum);}}private static long gcd(long a, long b) {// TODO Auto-generated method stubreturn b==0?a:gcd(b,a%b);}}