2012年认证杯SPSSPRO杯数学建模
C题 碎片化趋势下的奥运会商业模式
原题再现：
从 1984 年的美国洛杉矶奥运会开始，奥运会就不在成为一个“非卖品”，它在向观众诠释更高更快更强的体育精神的同时，也在攫取着巨大的商业价值，它与电视结盟，在运动员入场仪式、颁奖仪式、热门赛事、金牌榜发布等受关注的时刻发布赞助商广告，它在每个行业中仅挑选一家奥运全球合作伙伴，这就是“Top 赞助商”的前身。
这个模式经过 28 年的发展之后，现在已经是商业社会里最重要的公司的展示舞台。品牌选择奥运会的理由，是因为这里凝聚了观众的大量时间。他们希望在观众关注比赛的同时也注意到自己的品牌和产品，而 Top 赞助商们，则可以获得在电视奥运频道里排除行业里其他竞争对手广告的特权。
每届奥运会，Top 赞助商的赞助费用都以 10% 至 20% 的速度在增长。2008 年，北京奥运会全球合作伙伴最低赞助为 6000 万美元，2012 年伦敦奥运会就变成 8000 万美元。这种模式被奥运会主办方发挥到了极致，宣传费用的门槛把绝大多数企业排除在了奥运会之外。但是越来越多的企业不甘心错过奥运会这个吸引大众眼球的宣传机会，他们在寻找新的新闻传播渠道。
现在是一个机会，电视正在受到冲击，法国科技公司源讯（Atos Origin）2011 年 10 月便公布了一份《奥运会十大科技事实》清单，其中提到 2012 年伦敦奥运会期间，将有 85 亿台平板、智能手机等移动设备联网。他们可以自己决定看什么，定制内容，并可以通过社交网络和志同道合者相互吐槽。一切都在数字化，数字化不仅仅打碎了时间，它让传播渠道、受众的注意力、品牌营销方式甚至一切都碎片化了，观众不在只关注电视，他们利用社交网络可以获得更加丰富的比赛信息和网友的评论。这也为更多的企业提供了在奥运期间宣传自己的机会。有一个例子：
2012 年 1 月 26 日，一个名为 Jamie Beck 的 Tumblr 博主发布了一张“海怪号（Mar Mostro）”帆船在沃尔沃环球帆船赛上乘风破浪的照片，随后他收到了 2.5 万条互动信息，其中 60% 是转发这张照片。Jamie Beck 是这艘船的赞助商 Puma 聘请的推广作者，Puma 预计，鉴于 Beck 有 200 万粉丝，这张照片最终可能获得 600 万至 700 万品牌印象度（Impressions，衡量到达率的指标之一），而 Instagram 上会达到 4000 万。在整个沃尔沃帆船赛中，Puma 一共派了 10 位这样的作者去比赛地点阿布扎比，他们在 Twitter，Instagram 和Tumblr 上更有针对性地发布与 Puma，“海怪号”相关的内容。尽管 Puma 还没有发布它们的奥运广告计划，但 Puma 数字营销负责人 Remi Carlioz 有类似的计划：“我们不是奥运的官方合作伙伴，但我们会想别的办法和我们的受众一起参与到这个话题里来。”
一家企业想利用社交网络在奥运会期间进行企业宣传，假设现在距离奥运会开幕还有 100 天，一个社交网络的专业推广者平均每天可以新增 500 个粉丝，这些粉丝会把推广者发布的和奥运会相关的所有信息都分享给自己的粉丝们，普通网络用户平均每天可以新增 20 个粉丝。
第二阶段问题
问题一： 专业推广者是一种稀缺资源，假设能够找到的专业推广者仅有 10人，他们是否愿意为公司工作，取决于公司开出的薪水。由于工资是按日结算，他们随时可能转投工资更高的其他公司。兼职推广者可以大量雇到，但他们必须由专业推广者培训后才能上岗工作，一个专业推广者一天最多培训20 人，培训将占用专业推广者的工作时间。甲公司现有网络推广资金 20 万元，想利用网络推广扩大产品的知名度。该公司的一个竞争对手乙公司也同样计划利用奥运期间进行商品的网络推广，他们同样预算了 20 万元的推广资金，乙公司目前产品的市场占有率是甲公司的 1.5 倍。请建立合理的数学模型，帮助甲公司制定一份奥运期间的网络推广的资金使用和用人方案，使得产品推广的效果能够达到最大。
问题二： 某黑客公司研制了一个能够自动添加粉丝的软件，售价 10000 元，该软件一天可以自动发出 100000 个粉丝添加邀请，待添加的目标用户都是从社交网络中按照广度优先的原则搜索到的，但是其中仅有一些粉丝数较少或者经常无目的添加关注的网友愿意接受邀请。请建立数学模型说明这个软件的出现对上一问的用人和资金使用方案是否有影响？如果有影响，该如何对方案进行调整？
整体求解过程概述(摘要)
关于运用社交网络进行公司宣传已成为未来奥运会一项新型商业模式，如何运用有限的资源，同时高效的使公司信息在网络中被更多的人得知并能够进一步推广，是公司所关心的重要内容。本文围绕社交网络中信息传播方式，从两种不同的角度——基于网络传播动力学中改进的传染病理论——SIR 随机理论，以及三级“蒲公英”式传播理论，构建了两组社交网络信息传播模型。通过模拟信息在网络中的传播过程，探讨节点在网络传播中的行为规律。
对于问题（1），本文分别建立了 SIR 随机模型和三级“蒲公英”式传播模型。首先基于 SIR 随机模型建立了社交网络中信息传播的动力学演化方程组，用于刻画信息在未知节点、传播节点和免疫节点的密度随时间的变化关系。并通过探讨不同的人群接触并被传播信息的概率这一指标，得出通过增加此概率可以有效的使信息在人群中扩散这一结论。进而，基于 SIR 随机模型所求得的相关结果，本文运用优化思维构建了甲公司成本最小化的用人模型。其次，基于三级“蒲公英”式传播模型，本文刻画了当甲公司的专业推广者“不发生培训、不转投到乙公司”的情况下，网络中不同时刻、不同初始推广者情境下的日均信息蔓延程度，并构建了含有甲乙竞争机制的成本最优化模型。
对于问题（2），本文参考问题一中“蒲公英”式传播理论，建立软件推广的信息传播模型，得出甲公司采用软件推广比人力推广性价比更好的结论。进而，本文对问题一中“不培训，不转投”的“蒲公英”式模型进行改进，建立“培训，不转投”和“培训，转投”两种情境下的 0-1 整数规划模型，更好的同实际相结合。本文研究表明两种不同的模型符合社交网络的特性，有助于更深刻地理解发生在社交网络中的传播行为，同时在资源限制的约束下推动公司信息在网络中更好的推广。
问题分析：
问题一分析
在碎片化趋势下的社交网络中，公司利用社交网络进行宣传已经成为一种新型的奥运会商业模式。社会性网络服务(Social Network Service，SNS)通过网络聊天、博客、播客和社区共享等途径，实现个体社交圈的逐步扩大，最终形成一个联结“熟人的熟人”的大型网络社交圈。社交网络的传播机理是以人为中心，依靠人与人之间的好友关系进行信息的传播。在 SNS 网络中，一个人发布的消息会被其好友看到，并以一定的概率分享、传播。同时，若其好友对其内容不感兴趣则成为“免疫者”且不会传播[1]。含有公司广告的奥运新闻在社交网络中的传播模型可以抽象为图 4.2 所示，信息为在社交网络中不同节点（专业推广者，普通网络用户）间的流动过程。如图所示，消息的传播方式分为两类：
直接传播（一次传播）：以公司的专业推广者为中心，由专业推广者最先发布或者转发含有公司信息的奥运新闻。从而将广告信息直接推向其基础粉丝（即普通网络用户），同时，网络中每天专业推广者新增的粉丝也是专业推广者直接传播信息的对象。这种公司广告由专业推广者直接到普通网民的流动过程，视为信息的直接传播过程，即为专业推广者→普通网民（基础粉丝+每天新增粉丝）。
间接传播（二次传播）：普通网民通过转发该条新闻，从而将广告信息推给其下一级粉丝，即由专业推广者引起的，经普通网民转发信息，为间接传播过程。即专业推广者——基础粉丝→普通粉丝；专业推广者----新增粉丝→普通粉丝。信息在网络上传播的具有一定程度的复杂性，如何利用有限的资金成本有效的使公司推广信息被更多的人看到并进行进一步推广，同时在同其对手的竞争中处于优势地位，是公司所关注的问题。故本文针对问题一，利用 SIR 传染病动力学理论及“蒲公英式”信息传播模式，分别对社交网络中的信息传播行为进行详细的理论建模和数值仿真研究，有助于更深刻地理解发生在社交网络中的传播行为，达到公司在奥运会期间进行宣传推广的目的。
问题二分析
在本问中，虽然软件一天可以自动发出 100000 个粉丝添加邀请，待添加的目标用户都是从社交网络中按照广度优先的原则搜索到的，但是其中仅有一些粉丝数较少或者经常无目的添加关注的网友愿意接受邀请。因此如果粉丝愿意接受邀请的接受概率为u，则每天发出 100000 个粉丝添加邀请所能传播的人群为10^5ul。而用软件进行信息传递仅涉及购买软件的基本费用 1 万元，故而可运用问题一中“蒲公英”式传播模式的思想，探讨软件使用 100 天时间内可传播的人群数量，进而同问题一的方案进行对比分析。
模型假设：
假设 1. 在大规模的社交网络中，不考虑节点的自然死亡现象，即社交网络上的用户总数在所研究的时间段内保持数目不变；
假设 2. 专业推广者和兼职推广者因为任务要求，需要每天发布或者转发含有公司广告的奥运消息；而对于普通的网络用户，一旦转发该消息后，如果再次看到同样的消息，则不会再次转发相同的新闻；
假设 3. 传播期间，潜在用户（潜在节点）都有同等机会接触到推广的消息；
假设 4. 专业推广者的粉丝均为普通网络用户；
假设 5. 个体只能从与其有联系的其他个体处获得信息，即宣传推广途径仅限于社交网络，粉丝们都只从社交网络中得到公司发布的推广信息，不考虑其他传媒因素如电视、广播等；
假设 6. 网络中只有甲乙两家公司发布各自的奥运公司信息，且专业推广人士只能从甲公司转投到乙公司；
假设 7. 假设社交网络中不同群体（推广者、粉丝）内的个体之间是均质的；即为推广者群体中不同推广者的影响力是一样的，粉丝群体中不同粉丝的影响力是一样的
论文缩略图：
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部分程序代码：(代码和文档not free)
function y=ill(t,x)
a=0.6;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];
ts=0:100;
x0= [0.00004,0.99996];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'-.')
xlabel('t 时间(天）')
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