关系的定义及表示

关系的定义及表示

1、若集合R是A×A的子集,则称R是集合A上的二元关系,简称关系

例:A={1,2}, A×A={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>},A×A的任何一个子集都是A上的关系    

如: R={<1,1>, <2,2>}是A上的关系

2、若集合R是A×B的子集,则称R是从A到B的关系

例:A={1,2},B={3,4},A×B={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>}

R={<1,3>,<1,4>}是从A到B的关系 

3、称 I_{A}={<x,x>|x∈A}为A上的恒等关系 ,称A×A为A上的全域关系

例:A={2,3},则A上的恒等关系为 I_{A}={<2,2,>,<3,3,>}

4、设R是集合A上的关系,R中每一个有序对的第一元素构成的集合,称为R的定义域,记为domR R中每一个有序对的第二元素构成的集合,称为R的值域,记为ranR 

例:R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>}

domR={1,2};ranR={1,2,3}

例:R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>}

domR={1,2};ranR={2,3,4}

5、关系矩阵 

设集合A={x1,x2,x3,x4},若<xi,xj>∈R,则R的关系矩阵的第i行、第j列为1,其他位置为0

例:A={1,2},R={<1,1>, <2,2>}是A上的关系 设x1=1,x2=2,则A={x1,x2},R={<x1,x1>,<x2,x2>} 可用关系矩阵表示集合A上的关系R:

6、关系图

设集合A={x1,x2,x3,x4},若<xi,xj>∈R,则自xi到xj画一条有向边。

例:设R={<1,4>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<4,2>,<4,3>}是A={1,2,3,4}上的关系,画出R的关系图。

 

试题 

设R={<1,b>,<4,a>,<4,d>,<3,b>}是集合A={1,2,3,4}到集合B={a,b,c,d}的关系,则domR=______,ranR=______。

【答案】{1,3,4}              {a,b,d}

设R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>,<4,2>}是A={1,2,3,4}上的关系,写出R的关系矩阵。

【答案】

设集合S={1,2,3},下图为S上的二元关系R的关系图。 (1)写出R的集合表达式。 (2)写出R的关系矩阵。

 

【答案】

(1)R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,3>}

(2)​​​​​​​

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