【数据结构】串

串

  • 串的顺序实现
  • 简单的模式匹配算法
  • KMP算法
  • KMP算法的进一步优化

串的顺序实现

初始化

#define MaxSize 50
typedef char ElemType;//顺序存储表示
typedef struct{ElemType data[MaxSize];int length;
}SString;/*** 初始化串*/
void InitString(SString *string) {for (int i = 0; i < string->length; ++i) {//全部初始化为‘\0’string->data[i] = '\0';}string->length = 0;//长度赋值为0
}

赋值操作

/*** 赋值操作*/
void StrAssign(SString *string, char *str) {//循环赋值for (int i = 0; i < strlen(str); ++i) {string->data[i] = str[i];}string->length = strlen(str);
}

复制操作

/*** 复制操作：把串 str 复制到 string*/
void StrCopy(SString *string, SString str) {int i, j;for (i = 0; i < strlen(str.data); ++i) {string->data[i] = str.data[i];}string->length = str.length;
}

判空操作

/*** 判空操作*/
bool StrIsEmpty(SString string) {if (string.length == 0) {return true;} else {return false;}
}

比较操作

/*** 比较操作：首先比较同位序的字母大小，其次比较字符串的长度大小*/
int StrCompare(SString string, SString str) {for (int i = 0; i < string.length && i < str.length; ++i) {if (string.data[i] != str.data[i]) {return string.data[i] - str.data[i];}}return string.length - str.length;
}

截取操作

/*** 截取操作：用 sub 返回串 string 的第 pos 个字符起长度为 len 的子串*/
bool SubString(SString *sub, SString string, int pos, int len) {if (pos + len > string.length) {return false;}for (int i = pos; i < pos + len; ++i) {sub->data[i - pos] = string.data[i];}sub->length = len;return true;
}

连接操作

/*** 连接操作：把两个串相连*/
void StrConcat(SString *sub, SString string, SString str) {int i;for (i = 0; i < string.length; ++i) {sub->data[i] = string.data[i];}for (int j = 0; j < str.length; ++j, ++i) {sub->data[i] = str.data[j];}sub->length = string.length + str.length;
}

简单的模式匹配算法

所谓串的模式匹配算法，是一种专门定位子串在主串中位置的方法（方案、思想），整个定位的过程称为模式匹配。此外，在模式匹配的过程中，子串通常又被称为“模式串”。

串模式匹配的实现方法有很多种，本节先给大家讲一种最容易理解、最简单的方法，称为 BF 算法。

采用 BF 算法定位模式串在主串中的位置，就是简单粗暴的从主串的起始位置开始，不断地将模式串中的字符和主串中的字符进行对比。

具体来讲，假设对模式串 A（abcac）和主串 B（ababcabacabab）进行模式匹配，BF 算法的执行过程如下：

将模式串 A 与主串 B 的首字符对齐，逐个判断相对的字符是否相等
在这里插入图片描述
由于模式串 A 与主串 B 的第 3 个字符匹配失败，此时将模式串 A 后移一个字符的位置，采用同样的方法重新匹配
在这里插入图片描述
两个串依旧匹配失败，模式串 A 继续后移一个字符的位置
在这里插入图片描述
模式串 A 继续向后移动
在这里插入图片描述
模式串 A 与主串 B 共匹配了 6 次才成功，最终定位到模式串 A 位于主串 B 第 6 的位置处，整个模式匹配的过程就称为 BF 算法。

int Index(SString s,SString t){//s:主串，t：子串int i = 0,j = 0;while (i<=s.length&&j<=t.length){if (s.data[i]==t.data[j]){++i;++j;}else{i = i - j + 2;j = 0;}}if (j>t.length){return i - t.length;}else{return 0;}
}

KMP算法

学过 BF 算法的读者应该知道，该算法的实现思想很简单，就是 “傻瓜式” 地将模式串（假定为子串的串）与主串中的字符一一匹配。KMP 算法不一样，它可以略过一些原本就不可能成功的匹配过程，提高模式匹配的效率。

例如，对主串 A（“ABCABCE”）和模式串 B（“ABCE”）进行模式匹配，KMP 算法只需要匹配 2 次。
在这里插入图片描述
显示第一次匹配失败，从整个匹配过程可以获得的信息是：模式串中 “ABC” 和主串对应的字符相同，但模式串中的字符 ‘A’ 与 ‘B’ 和 ‘C’ 不同。这也就意味着，下次模式匹配时没必要再让串 B 中的 ‘A’ 与主串中的字符 ‘B’ 和 ‘C’ 一一匹配，它们绝不可能相等。

因此第二次模式匹配开始前，我们改变指针 j 的指向

在这里插入图片描述
模式串直接跳过主串中的第 2、3 个字符，从第 4 个字符处开始第二次模式匹配，最终匹配成功。KMP 算法的整个匹配过程只进行了 2 次，而如果用 BF 算法需要匹配 4 次。

和 BF 算法相比，KMP 算法只需要移动指针 j 的位置，可以略过一些原本就不可能成功的匹配过程，减少匹配的次数，提高模式匹配的效率。

对于初学者而言，KMP 算法最大的难点是：当模式匹配失败后，如何修改指针 j 的位置。

请大家先记住一句话：指针 j 的新位置只和模式串有关，与主串无关。接下来通过一个实例，给大家演示如何只通过模式串确定指针 j 的位置。

将模式串 B 改为 “ABCAE”，第一次匹配的过程如下图所示：

在这里插入图片描述
匹配失败时模式串中字符 ‘E’ 前的 ‘A’ 与模式串开头的 ‘A’ 相等，因此我们可以将指针 j 指向模式串中的第 2 个字符，下次直接从 i 和 j 的位置开始匹配，这就是 KMP 算法重定位指针 j 的方法。

也就是说，模式匹配失败后指针 j 的新位置可以通过匹配失败位置前的字符计算得出。进一步讲，只要给定一个模式串，我们就可以确定匹配失败后指针 j 的新位置。

当模式串和主串进行模式匹配时，模式串中的每个字符都可能导致匹配失败，而失败后指针 j 的新位置是可以计算出来的。模式串中有多少个字符，就可以计算出多少个指针 j 的新位置，它们是一一对应的关系。我们通常会各个字符对应的 j 的新位置存储到一个数组中，并给这个数组起名为 Next 数组，数组中的值统称为 next 值。

模式串中各个字符对应的 next 值的计算方式是，取该字符前面的字符串（不包含自己），其前缀字符串和后缀字符串相同字符的个数再 +1 就是该字符对应的 next 值。

前缀字符串指的是位于模式串起始位置的字符串，例如模式串 “ABCD”，则 “A”、“AB”、“ABC” 都属于前缀字符串；后缀字符串指的是位于串结尾处的字符串，还拿模式串 “ABCD” 来说，“D”、“CD”、“BCD” 为后缀字符串。

注意，模式串中第一个字符对应的值为 0，第二个字符对应的值是 1 ，这是固定不变的。因此模式串 “ABCAE” 中各个字符对应的 next 值如图

在这里插入图片描述
各个字符对应 next 值的计算过程是：

  • 第三个字符 ‘C’：在前面的字符串 “AB” 中，前缀字符串和后缀字符串相等个数为 0，0 + 1 = 1，所以字符 ‘C’ 对应的 next 值为 1。
  • 第四个字符 ‘A’：在前面的字符串 “ABC” 中，前缀字符串和后缀字符串相等个数为 0，0 + 1 = 1，所以字符 ‘A’ 对应的 next 值为 1。
  • 第五个字符 ‘E’：在前面的字符串 “ABCA” 中，前缀字符串和后缀字符串相等个数为 1，1 + 1 = 2，所以字符 ‘E’ 对应的 next 值为 2。

当字符 ‘E’ 匹配失败时，指针 j 指向模式串数组中第 2 个字符，即 ‘B’

那么，如果编写程序计算出模式串对应的 NEXT 数组呢？

可以设计这样一个算法：刚开始时令 j 指向模式串中第 1 个字符（j=1），i 指向第 2 个字符（i=2）。接下来，对每个字符做同样的操作：

  • 如果 i 和 j 指向的字符相等，则 i 后面第一个字符的 next 值为 j+1，同时 i 和 j 做自加 1 操作，为求下一个字符的next 值做准备；
  • 如果 i 和 j 指向的字符不相等，则执行j=next[j]修改 j 的指向，然后以同样的方法对比 i 和 j 指向的字符，以此类推。当 j 的值为 0 时，将 i 后面第一个字符的 next 值置为 1。

例如，计算模式串 “aaacd” 对应的 NEXT 数组，实现过程为：

  • 前两个字符对应的 next 值分别为 0 和 1（j=1, i=2）；

  • 由于 i 和 j 指向的字符相等，所以第三个字符 ‘a’ 的 next 值为 j +1 = 2，同时 i 和 j 各自加 1（此时 j=2，i=3）。

在这里插入图片描述

  • 由于 i 和 j 指向的字符相等，所以第四个字符 ‘c’ 的 next 值为 j +1 = 3，同时 i 和 j 各自加 1（此时 j=3，i=4）。
    在这里插入图片描述
  • 此时 i 和 j 指向的字符不相等，执行 j = next[j] 修改 j 的指向
    在这里插入图片描述
  • 从上图可以看到，i 和 j 指向的字符又不相同，继续执行 j = next[j]
    在这里插入图片描述

由于 j 和 i 指向的字符仍不相等，继续执行 j=next[j] 得到 j=0，字符 ‘d’ 对应的 next 值为 1。

实际上，当第一次比较 i 和 j 不相等时，意味着匹配失败位置前的最长前缀和后缀字符串不相同；执行 j=next[j] 后，i 和 j 仍不相等，意味着匹配失败位置前的次长前缀和后缀字符串也不相同，以此类推。当 j = 0 时，意味着匹配失败位置前没有相等的前缀和后缀字符串。

这里给出上述思想实现 NEXT 数组的 C 语言代码：

void GetNext(SString string,int* next){//string是字串int i = 1,j = 0;//next的第一个元素固定为0next[i] = 0;while (i < string.length){if (j==0||string.data[i]==string.data[j]){++i;++j;next[i] = j;//Pi=Pj,则next[J+1]=next[J]+1}else{j = next[j];}}
}

假设主串 A 为 “ababcabcacbab”，模式串 B 为 “abcac”，KMP 算法进行模式匹配的过程为：

  • 第一次匹配如图所示，匹配结果失败，指针 j 移动至 next[j] 的位置；

在这里插入图片描述

  • 第二次匹配如图所示，匹配结果失败，执行 j=next[j] 操作

在这里插入图片描述

  • 第三次匹配成功

在这里插入图片描述
使用 KMP 算法只需匹配 3 次，而同样的问题使用 BF 算法则需匹配 6 次才能完成。

KMP 算法：

int KMP(SString s,SString t,int* next){int i = 1,j = 1;while (i<=s.length&&j<=t.length){if (s.data[i]==t.data[j]){++i;++j;}else{j = next[j];}  }if (j>t.length){return i - t.length;}else{return 0;}
}

KMP算法的进一步优化

只需要更改next即可

void GetNextVal(SString string,int* next){//string是字串int i = 1,j = 0;//next的第一个元素固定为0next[i] = 0;while (i < string.length){if (j==0||string.data[i]==string.data[j]){++i;++j;if (string.data[j]!=string.data[i]){next[i] = j;//Pi=Pj,则next[J+1]=next[J]+1}else{next[i] = next[j];}}else{j = next[j];}}
}

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