数据结构--哈夫曼树

数据结构–哈夫曼树

带权路径长度

结点的 权 \color{red}权 :有某种现实含义的数值(如:表示结点的重要性等)
结点的带权路径长度 \color{red}结点的带权路径长度 结点的带权路径长度:从树的根到该结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积 树的带权路径长度 \color{red}树的带权路径长度 树的带权路径长度:树中所有 叶结点 \color{red}叶结点 叶结点的带权路径长度之和(WPL, Weighted Path Length)

W P L = ∑ i = 1 n w i l i \mathrm{WPL}=\sum_{i=1}^{n}w_{i}l_{i} WPL=i=1nwili

哈夫曼树的定义

以上都是哈夫曼树

在含有n个带权叶结点的二叉树中,其中 带权路径长度 ( W P L ) 最小的二叉树 \color{red}带权路径长度(WPL)最小的二叉树 带权路径长度(WPL)最小的二叉树称为 哈夫曼树 \color{red}哈夫曼树 哈夫曼树,也称 最优二叉树 \color{red}最优二叉树 最优二叉树

哈夫曼树的构造

给定n个权值分别为 w 1 , w 2 . . . , w n w_1, w_2..., w_n w1,w2...,wn的结点,构造哈夫曼树的算法描述如下:
1)将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树,构成森林F。
2)构造一个新结点,从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树,并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。
3)从F中删除刚才选出的两棵树,同时将新得到的树加入F中。
4)重复步骤2)和3),直至F中只剩下一棵树为止。

1)每个初始结点最终都成为叶结点,且权值越小的结点到根结点的路径长度越大
2)哈夫曼树的结点总数为2n -1
3)哈夫曼树中不存在度为1的结点。
4)哈夫曼树并不唯一,但wPL必然相同且为最优

W P L m i n = 1 ∗ 7 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 2 + 4 ∗ 1 + 4 ∗ 2 = 31 WPL_{min}=1^*7+2^*3+3^*2+4^*1+4^*2=31 WPLmin=17+23+32+41+42=31

哈夫曼编码

电报――点、划两个信号(二进制0/1)

固定长度编码――每个字符用相等长度的二进制位表示
可变长度编码 \color{red}可变长度编码 可变长度编码――允许对不同字符用不等长的二进制位表示
若没有一个编码是另一个编码的前缀,则称这样的编码为 前缀编码 \color{red}前缀编码 前缀编码
有哈夫曼树得到 哈夫曼编码 \color{red}哈夫曼编码 哈夫曼编码――字符集中的每个字符作为一个叶子结点,各个字符出现的频度作为结点的权值,根据之前介绍的方法构造哈夫曼树

若哈夫曼树不唯一,则对应的哈夫曼编码不唯一 \color{green}若哈夫曼树不唯一,则对应的哈夫曼编码不唯一 若哈夫曼树不唯一,则对应的哈夫曼编码不唯一

哈夫曼编码可用于数据压缩 \color{pink}哈夫曼编码可用于数据压缩 哈夫曼编码可用于数据压缩

知识点回顾与重要考点

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