前言

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种优化问题求解方法，通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它的基本思想是将原问题分解成更小的子问题，通过求解和保存这些子问题的解，避免重复计算，从而提高算法的效率。

以下是动态规划的一些关键概念：

• 最优子结构：

最优子结构是指问题的最优解可以通过子问题的最优解递归构建而成。在动态规划中，原问题被分解为更小的子问题，每个子问题都有自己的最优解。通过合并这些最优解，我们可以得到整体问题的最优解。

• 重叠子问题：

动态规划问题会涉及到重叠子问题，即在解问题的过程中会多次遇到相同的子问题。为了避免重复计算，动态规划使用记忆化或者其他方法来保存子问题的解。

• 状态转移方程：

状态转移方程是问题建模的关键，它描述了问题的当前状态和如何从之前的状态转移到新状态。通过定义合适的状态和状态之间的转移关系，可以得到问题的递推解法，将子问题和整体连接了起来。

• 存储中间结果：

为了避免重复计算，动态规划通常使用数组、矩阵或字典等数据结构来存储中间结果。这些中间结果包括子问题的解，可以在需要时直接获取，而不必重新计算。

• 自底向上或自顶向下的求解方法：

动态规划可以采用自底向上或自顶向下的求解方法。自底向上是从最小的子问题开始逐步求解，而自顶向下是通过递归从原始问题开始，逐步分解为子问题。

以上这些基本概念通常共同作用，构成了动态规划算法的基础。具体步骤包括：定义状态、找到状态转移方程、存储中间结果、选择求解方法等。