并查集

并查集引入

并查集（Union-find Sets）是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求联通子集、求最小生成树的Kruskal算法和求最近公共祖先（LCA）等。

并查集的基本操作主要有：

1. 初始化init
2. 查询find
3. 合并unionn

1.初始化

int fa[MAXN];
void init(int n)
{for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
}

假设有编号为1，2，3……，n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。

2.查询

找到i的祖先直接返回，未进行路径压缩

int find(int i)
{if(fa[i]==i)//递归出口，当到达了祖先位置，就返回祖先return i;elsereturn find(fa[i]);//不断往上查找祖先
}

3.合并

void unionn(int i,int j)
{int i_fa=find(i);//找到i的祖先int j_fa=find(j);//找到j的祖先fa[i_fa]=j_fa;//i的祖先指向j的祖先。
}

路径压缩

int find(int i)
{if(i==fa[i])return i;else {fa[i]==find(fa[i]);//该步进行了路劲压缩return fa[i];//返回父节点}
}

代码模板

(1)朴素并查集：

 	int p[N]; //存储每个点的祖宗节点// 返回x的祖宗节点int find(int x){if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];}// 初始化，假定节点编号是1~nfor (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;// 合并a和b所在的两个集合：p[find(a)] = find(b);

(2)维护size的并查集：

	int p[N], size[N];//p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量// 返回x的祖宗节点int find(int x){if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];}// 初始化，假定节点编号是1~nfor (int i = 1; i <= n; i ++ ){p[i] = i;size[i] = 1;}// 合并a和b所在的两个集合：size[find(b)] += size[find(a)];p[find(a)] = find(b);

(3)维护到祖宗节点距离的并查集：

    int p[N], d[N];//p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离// 返回x的祖宗节点int find(int x){if (p[x] != x){int u = find(p[x]);d[x] += d[p[x]];p[x] = u;}return p[x];}// 初始化，假定节点编号是1~nfor (int i = 1; i <= n; i ++ ){p[i] = i;d[i] = 0;}// 合并a和b所在的两个集合：p[find(a)] = find(b);d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量