场的概念---数量场(标量场)和矢量场介绍理解

目录

一、场的概念

二、场的分类

三、数量场(标量场)的等值面

四、矢量场中的矢量线

矢量线方程推导:


一、场的概念

场在数学上是指一个向量到另一个向量或数的映射。场指物体在空间中的分布情况。场是用空间位置函数来表征的。在物理学中,经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。

场https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%BA/7451287

二、场的分类

1、数量场(标量场),矢量场;

2、稳定场(恒定场)【不随时间变化的场】,时变场;

三、数量场(标量场)的等值面

上图中左图是一个数量场的模型,右图是该数量场的等值面。数量场(标量场)是表示只有大小没有方向的场。

数量场(标量场)的数学表达式:u(x,y,z,t)

等值面的数学表达式:u(x,y,z,t)=C_1   ,    u(x,y,z,t)=C_2

u(x,y,z,t)=任意常数;

空间中有无穷多个等值面。注意:任意两个等值面不可能相交。

在工程使用中我们通常会让C_2-C_1=C_3-C_2=...。这样可以方便我们观察沿着不同方向 场的变化。

四、矢量场中的矢量线

矢量线数学表达式:$\vec{A}(x,y,z)=A_{x}(x,y,z)\vec{e_{x}}+A_{y}(x,y,z)\vec{e_{y}}+A_{z}(x,y,z)\vec{e_{z}}$

其中$\vec{e_x},\vec{e_y},\vec{e_z}$为x,y,z方向上的单位矢量。

矢量线是空间中一条有向曲线。其中每个点的方向是矢量线在该点的切线方向。矢量线反应了A的方向在空间中变化的情况。

无穷多根矢量线中,任意两根矢量线是不相交的。

矢量线方程推导:

${\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}}$

$\overrightarrow{\Delta r}=dx\overrightarrow{e_{x}}+dy\overrightarrow{e_{y}}+dz\overrightarrow{e_{z}}$

$\overrightarrow{\Delta r}$无穷小时,$\overrightarrow{\Delta r}$$\overrightarrow{A}$平行,所以得出矢量线的方程:$\frac{dx}{A_x}=\frac{dy}{A_y}=\frac{dz}{A_z}$

矢量线方程式是微分方程,一个微分方程有无穷多个解

矢量场变化快的时候,矢量线密集,矢量场变化慢的时候,矢量线画的稀疏。

上面图片分别来源:MATLAB quiver函数使用:绘制矢量箭头-CSDN博客

matlab解微分方程:方向场_matble怎么画方向场-CSDN博客

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