一、求值域的两种基本思路

1、根据函数图像和定义域求出值域。
难点：画出函数图像

2、研究函数单调性和定义域求出值域。

二、函数图像画法

高中所学的分式函数，基本由反比例函数平移得到。
复杂分式函数图像画法的两个要点：
a、找垂直、水平渐近线

垂直渐近线：分母等于0时，x的取值
水平渐近线：x取无穷大的时候，y的极限值

b、代值定象限

当你不确定图像是1,3象限，还是2,4象限的时候，代入特殊值即可判断。

1、反比例函数

2、对勾函数

一个正比例函数 加 一个分式函数

第一步

分别画出y=x和y=1/x的图像

第二步

合并函数图像


可以看出，该图像的两条渐近线是，x=0和y=x

第三步

求顶点
根据基本不等式，可以求出第一象限的最小值。
根据图像的中心对称性，求出第三象限的最大值。

3、双刀函数

一个正比例函数 减 一个分式函数
双刀函数图像的画法和对勾函数图像画法过程相似。

三、分式函数求值域

1、一次比一次的分式函数

分母和分子中，x的次数都是1次的情况
例题：

画图：

求值域：
根据图像，值域一目了然。

2、二次比一次的分式函数

分子中x的次数是2次，分母中x的次数是1次的情况
例题1：

画图：
1、拆分子

2、画图
可以发现，这个函数图像是一个对勾函数，向上平移两个单位得到的图像。

求值域：
根据图像，一目了然
例题2：
这种情况对分母换元即可转化为例题1的情况，进行画图求解即可。

3、一次比二次的分式函数

分子中x的次数是1次，分母中x的次数是2次的情况
例题：

画图：
1、对一次项式分子换元

2、上下同除以分子

3、对分母画图

求值域：
求出分母的值域，从而求出分式的值域

4、二次比二次的分式函数

分子中x的次数是2次，分母中x的次数是2次的情况
例题：

解题：
1、将分子凑成分母的倍数

2、拆分子

3、按照一次比二次的分式函数的解法求解即可。