高中数学:分式函数值域的求法

一、求值域的两种基本思路

1、根据函数图像和定义域求出值域。
难点:画出函数图像

2、研究函数单调性和定义域求出值域。

二、函数图像画法

高中所学的分式函数,基本由反比例函数平移得到。
复杂分式函数图像画法的两个要点:
a、找垂直、水平渐近线

垂直渐近线:分母等于0时,x的取值
水平渐近线:x取无穷大的时候,y的极限值

b、代值定象限

当你不确定图像是1,3象限,还是2,4象限的时候,代入特殊值即可判断。

1、反比例函数

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2、对勾函数

一个正比例函数 一个分式函数
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第一步

分别画出y=xy=1/x的图像
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第二步

合并函数图像
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
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可以看出,该图像的两条渐近线是,x=0y=x

第三步

求顶点
根据基本不等式,可以求出第一象限的最小值。
根据图像的中心对称性,求出第三象限的最大值。
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3、双刀函数

一个正比例函数 一个分式函数
双刀函数图像的画法和对勾函数图像画法过程相似。
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三、分式函数求值域

1、一次比一次的分式函数

分母和分子中,x的次数都是1次的情况
例题:
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画图:
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求值域:
根据图像,值域一目了然。

2、二次比一次的分式函数

分子中x的次数是2次,分母中x的次数是1次的情况
例题1:
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画图:
1、拆分子
在这里插入图片描述
2、画图
可以发现,这个函数图像是一个对勾函数,向上平移两个单位得到的图像。
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
求值域:
根据图像,一目了然
例题2:
这种情况对分母换元即可转化为例题1的情况,进行画图求解即可。
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3、一次比二次的分式函数

分子中x的次数是1次,分母中x的次数是2次的情况
例题:
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画图:
1、对一次项式分子换元
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
2、上下同除以分子
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3、对分母画图
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求值域:
求出分母的值域,从而求出分式的值域

4、二次比二次的分式函数

分子中x的次数是2次,分母中x的次数是2次的情况
例题:
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解题:
1、将分子凑成分母的倍数
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2、拆分子
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3、按照一次比二次的分式函数的解法求解即可。

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