1、曲线的连续性

曲线的连续性是三维建模、动画设计等领域中非常重要的一个概念，它涉及到曲线在不同点之间的连接方式和光滑程度。下面将详细介绍曲线的连续性，包括C连续性和G连续性。

1.1C连续性（参数连续性）

C连续性是指曲线在参数空间中的连续性。在参数空间中，曲线的连续性可以通过匹配相邻曲线段在连接点处的参数导数来实现。C连续性的级别用C0、C1、C2、C3等来表示，其中数字表示导数的阶数。

C0连续性：这是最基本的连续性要求，它只要求曲线在连接点处没有断开，即几何位置连续。C0连续性保证了曲线在连接点处是连续的，但没有考虑到切线方向、曲率等更高级别的信息。

C1连续性：在满足C0连续性的基础上，C1连续性要求曲线在连接点处的切线方向相同，即曲线的斜率连续。这意味着曲线在连接点处不仅是连续的，而且在该点处的切线方向也是连续的。C1连续性提供了比C0连续性更高的平滑度要求。

C2连续性：C2连续性要求曲线在连接点处的曲率连续，即曲线在连接点处的曲率变化率也是连续的。这提供了比C1连续性更高的平滑度要求，使得曲线在连接点处更加平滑。

C3连续性：这是最高级别的参数连续性，它要求曲线在连接点处的曲率变化率的导数也是连续的。C3连续性提供了非常平滑的曲线过渡，使得曲线在视觉上更加自然。

1.2G连续性（几何连续性）

G连续性是指曲线在几何空间中的连续性。在几何空间中，曲线的连续性可以通过匹配相邻曲线段在连接点处的几何信息来实现。G连续性的级别用G0、G1、G2、G3等来表示，其中数字表示导数的阶数。

G0连续性（位置连续性）：G0连续性要求新构造的曲线直接连接两个端点，即曲线在连接点处的位置连续。这是最基本的几何连续性要求，它只保证了曲线在连接点处没有断开。

G1连续性（相切连续性）：在满足G0连续性的基础上，G1连续性要求新构造的曲线在连接点处与相邻曲线段相切，即曲线在连接点处的切线方向相同。G1连续性提供了比G0连续性更高的平滑度要求，使得曲线在连接点处更加平滑。

G2连续性（曲率连续性）：G2连续性要求在满足G1连续性的基础上，新构造的曲线在连接点处的曲率相同。这意味着曲线在连接点处不仅切线方向相同，而且曲率也相同。G2连续性提供了比G1连续性更高的平滑度要求，使得曲线在连接点处更加自然。

G3连续性（流连续性）：这是最高级别的几何连续性，它要求新构造的曲线在连接点处的曲率变化率也相同。G3连续性提供了非常平滑的曲线过渡，使得曲线在视觉上更加自然和流畅。

2、曲面连续性

曲面的连续性是三维建模和几何造型中的重要概念，它描述了曲面在不同点之间的连接方式和光滑程度。曲面的连续性可以分为多个级别，从最低的位置连续性（G0）到最高的流连续性（G3），每个级别都对曲面的光滑度和连续性有不同的要求。下面将详细全面介绍曲面的连续性。

位置连续性（G0）

位置连续性是曲面连续性的最低要求。在G0连续性的条件下，新构造的曲面与相邻的曲面在连接处没有断开，即它们的位置是连续的。换句话说，两个曲面在相交线处可以直接连接起来，而不需要在相交线处相切。这种连续性的要求相对较低，因此在实际应用中很容易实现。

相切连续性（G1）

相切连续性是在位置连续性的基础上更高的要求。在G1连续性的条件下，新构造的曲面与相邻的曲面在相交线处不仅位置连续，而且它们的法线方向相同，即它们在该点处相切。这意味着两个曲面在连接处具有相同的切线方向，使得曲面在视觉上更加平滑。G1连续性对于创建高质量的模型非常重要，特别是在需要平滑过渡的场景中。

曲率连续性（G2）

曲率连续性是在相切连续性的基础上更高的要求。在G2连续性的条件下，新构造的曲面与相邻的曲面在相交线处不仅位置连续、法线方向相同，而且它们的曲率也相同。这意味着两个曲面在连接处的形状和弯曲程度都是连续的，从而提供了更加平滑和自然的过渡效果。G2连续性在创建高质量的模型和动画中非常重要，特别是在需要高度真实感和自然度的场景中。

流连续性（G3）

流连续性是曲面连续性的最高要求。在G3连续性的条件下，新构造的曲面与相邻的曲面在相交线处不仅满足上述所有条件，而且它们的曲率变化率也相同。这意味着两个曲面在连接处的形状、弯曲程度和速度变化都是连续的，从而提供了非常平滑和自然的过渡效果。G3连续性在创建高质量的模型和动画中非常重要，特别是在需要高度真实感和自然度的场景中。

Open CASCADE在 GeomAbs_Shape 枚举类型描述了曲线和曲面支持的连续性的类型。

enum GeomAbs_Shape{GeomAbs_C0,GeomAbs_G1,GeomAbs_C1,GeomAbs_G2,GeomAbs_C2,GeomAbs_C3,GeomAbs_CN};

C0 (GeomAbs_C0) —— 参数连续性。它与G0(几何连续性)是一致的，所以G0没有单独变量表示。

G1(GeomAbs_G1) —— 左曲线的切向量和右曲线的切向量是平行的。

C1(GeomAbs_C1) —— 暗示一阶导的连续性

G2(GeomAbs_G2) —— 在G1连续的基础上，左曲线和右曲线的曲率中心是相同的

C2(GeomAbs_C2) —— 一直到二阶导都是连续的

C3(GeomAbs_C3) —— 一直到三阶导都是连续的

CN(GeomAbs_CN) —— 一直到N阶到都是连续的(连续的无穷阶)