一、基本概念

定义：前缀和数组（Prefix Sum Array）是一个数组，它存储了原数组（或序列）的连续子数组之和。对于一个给定的数组 nums，其前缀和数组 cumulativeSum 的第 i 个元素 cumulativeSum[i] 表示 nums 从第一个元素到第 i 个元素的累加和。

表示累加和：前缀和数组的计算公式可以表示为：

 cumulativeSum[i] =  cumulativeSum[i - 1] + nums[i - 1]

其中， cumulativeSum[0] 通常初始化为 0，以便于计算。

二、构造方法

初始化：在构造前缀和数组时，首先需要创建一个长度比原数组 nums 多一个元素的新数组 cumulativeSum。这样做是为了简化边界条件的处理，特别是当需要计算从第一个元素开始的子区间和时。

遍历更新：通过遍历原数组 nums，我们可以逐个计算前缀和数组的元素。这个过程可以表示为一个循环，从 i = 1 遍历到 nums.length，每次更新 cumulativeSum[i] 的值为 cumulativeSum[i - 1] 加上 nums[i - 1]。

三、查询操作

快速计算：给定一个闭区间 [left, right]，我们可以通过以下公式快速计算该区间的累加和：

sum =  cumulativeSum[end + 1] -  cumulativeSum[start]

这里，end+ 1 是为了包含 end 索引的元素在内，因为前缀和数组的索引是从 1 开始的。

时间复杂度：查询操作的时间复杂度是 O(1)，因为一旦前缀和数组被构造出来，任何区间和的查询都可以直接通过数组索引完成，无需再次遍历原数组。

四、应用场景

区间查询：在处理需要频繁查询区间和的问题时，前缀和数组非常有用。例如，在一个数据流应用中，你可能需要快速回答“到目前为止，总共有多少数据量？”前缀和数组可以立即给出答案。

动态规划：在动态规划问题中，前缀和数组可以用来优化状态转移，特别是在涉及到区间和计算的问题，如最长递增子序列、最小子树和等。

五、优化和变种

优化技巧：在某些情况下，我们可以优化前缀和数组的构造过程。例如，如果原数组是有序的，我们可以利用二分查找来加速更新过程。

变种：前缀和数组的概念可以扩展到多维。例如，在二维数组中，我们可以构造一个二维前缀和数组，用于快速计算矩形区域的和（后续内容）。

六、代码实现

public class CumulativeSumCalculator {// 累积和数组private int[] cumulativeSum;// 初始化累积和数组public CumulativeSumCalculator(int[] nums) {// 初始化累积和数组，第一个元素为0cumulativeSum = new int[nums.length + 1];// 计算累积和for (int index = 1; index <= nums.length; index++) {cumulativeSum[index] = cumulativeSum[index - 1] + inputArray[index - 1];}}// 查询指定区间的累积和public int querySum(int start, int end) {// 返回区间 [start, end] 的累积和return cumulativeSum[end + 1] - cumulativeSum[start];}
}