0-1背包理论基础

基础

DP数组与其下标的含义

dp[i][j]，i为物品编号，j为背包容量

dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

递推公式

分类：是否要放入下标为i的物品：

· 不放时最大价值为：dp[i - 1][j]

· 放入时最大价值为：dp[i - 1][j – weight[i]] + value[i]

递推取两者较大值：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j – weight[i]] + value[i])

DP数组初始化

dp[i][j]由其上方格子和左上方范围内某一个格子初始化而来，所以需要初始化最上的一行和最左的一列：

        i = 0时，对于j < weight[0]的格子，初始化为0，往后的格子初始化为value[0]

        j = 0时，背包容量为0，装不下任何物品，所以最左列全部初始化为0

遍历顺序

先遍历物品（i）或先遍历背包（j）都可以，都能将dp数组填满

滚动数组优化

因为dp[i][j]的值只由i-1行元素推出，所以dp数组可以使用一维滚动数组来代替二维数组

注意使用滚动数组时不能先遍历背包，只能先遍历物品。遍历物品时遍历背包的顺序应该从右到左（思考一下覆盖的顺序）

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416.分割等和子集

（这题其实没有提示挺难想到背包解法的，告诉我是背包题也想了半天）

这题用背包解得想明白 j 是什么：寻找两个总和相等的子集，等价于寻找一个和为所以数总和一半的子集，所以 j 是数的总和，而 j 的最大值应该是数组中所有数总和的一半

1、DP数组定义：一维数组，使用滚动数组来实现背包。方便理解使用二维数组来解释定义：dp[i][j]表示 n = i 时，数组下标[0, i]中取任意数所能得到的最大值，这个最大值不能超过j

        · weight[i] 和 value[i] 都等于 nums[i]

        · value[i] == nums[i] 使在遍历物品时不断取到最大值

        · weight[i] == nums[i] 使在遍历背包时最大值不超过总和的一半

        · 最后遍历完了所有物品和背包后，如果dp[-1][-1] == 总和的一半，说明能恰好取到一个子集，其总和为所有数总和的一半

2、DP数组初始化：i < nums[0]的格子，初始化为0，往后的格子初始化为value[0]

3、递推公式：常规0-1背包问题的递推公式（滚动数组实现）：
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int n : nums)sum += n;if (sum % 2 == 1)return false;// weight[i]与value[i]都设置为nums[i]// 当背包大小为sum / 2时，看最大数总和是否也是sum / 2sum /= 2;vector<int> dp(sum + 1, 0);for (int j = 0; j < sum + 1; ++j)if (j >= nums[0]) dp[j] = nums[0];for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {for (int j = sum; j >= nums[i]; --j) {dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}return dp[sum] == sum;
}