【Simulink系列】——动态系统仿真 之 连续系统线性连续系统

声明:本系列博客参考有关专业书籍,截图均为自己实操,仅供交流学习!

一、连续系统定义

连续系统输出在时间上连续变化,而非间隔采样取值,满足以下条件:

①输出连续变化,变化的间隔为无穷小量。

②数学描述上,存在输入或输出的微分项。

③系统具有连续状态。离散系统的状态为时间的离散函数,而连续系统为时间的连续函数。

设连续函数的输入变量为u(t),其中t为连续取值的时间变量,系统的输出为y(t),最一般的数学描述为:

y(t)=f(u(t), t)

注:这里系统的输入变量与输出变量既可以是标量,也可以是向量。

也可以使用连续系统的微分方程描述(左微分方程,右输出方程):

\begin{aligned}&\dot{x}\big(t\big)=f\big(x\big(t\big),u\big(t\big),t\big)\\&y\big(t\big)=g\big(x\big(t\big),u\big(t\big),t\big)\end{aligned}

这里的x(t),\dot{x}分别是连续系统的状态变量和状态变量的微分。

二、连续系统Simulink仿真

蹦极跳系统模型。在下落过程中,人几乎处于完全失重状态,自由落体时人的位置由下式确定(后两项为经验阻力项,x为下落距离):

m\ddot{x}=mg-a_{1}\dot{x}-a_{2}|\dot{x}|\dot{x}

起跳位置为起点(x=0),低于起点为正,高于起点为负,绳索弹力系数为k,原始长度为x0,则绳索对下落者的作用力:

综上两式,整个系统的数学描述为:

m\ddot{x}=mg+b(x)-a_{1}\dot{x}-a_{2}|\dot{x}|\dot{x}

(1)建立系统模型

(2)模块参数设置

起跳初始位置距地面80m,绳索初始长度x0为30m,起始速度为0,即\dot{x}(0)=0。k=18.45,a1=1.3,a2=1.1,m=70kg,g=9.8。

switch模块的阈值设置为0,Criteria for passing first input设置为u2>阈值。

(3)仿真运行

(4)更改仿真参数设置,结果更平滑

三、线性连续系统定义

满足齐次性和叠加性!

①输入输出方程形式描述

y(t)=f(u(t),t)

②微分方程形式描述

\begin{aligned}\dot{x}(t)&=f\left(x(t),u(t),t\right)\\y(t)&=g\left(x(t),u(t),t\right)\end{aligned}

也可使用传递函数、零极点模型、状态空间模型描述!

③传递函数与零极点模型用Laplace变换实现(此处可对比线性离散系统)

对于连续信号u(t),其Laplace变换为U\left(s\right)=\int_{-\infty}^{\infty}u\left(t\right)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t,一般系统时间大于0,所以变换为U\left(s\right)=\int_{0}^{\infty}u\left(t\right)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t,简记为U(s)=L(u(t))

Laplace变换重要性质:

  • 线性性;
  • 设连续信号u(t)的Laplace变换为U(s),则\dot{u}(t)的Laplace变换为sU(s)

④状态空间模型

\begin{cases}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}

四、线性连续系统Simulink仿真

实际系统大多是非线性的,但是一定范围内都可用线性系统近似!线性连续系统的建立与一般线性系统本质相同,但是线性连续系统一般使用传递函数模型、零极点模型、状态空间模型描述,分别对应Transfer Fcn模块、Zero-Pole模块、Sate-Space模块

一个执行机构的传递函数(零极点形式)如下:

                                                            \frac1{(s-0.1)(s+1.1)}

显然系统不稳定,下面建立比例微分控制器系统使其稳定!

                                              u\left(t\right)=K_{p}e\left(t\right)+K_{d}\dot{e}(t)

(1)建立系统模型

(2)模块参数设置

这里没用1.1,-0.1,换成了1.2,-1.2。可根据实际传递函数进行零极点设置:

Gain和Gain1分别取15和2,可根据需要进行微调!

(3)仿真参数设置

(4)仿真运行

系统可以达到稳定,但是存在严重振荡现象和较大的稳态误差,可通过调节控制器参数进行修正!

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