通俗易懂的L0范数和L1范数及其Python实现

定义

L0 范数（L0-Norm）

L0 范数并不是真正意义上的一个范数，因为它不满足范数的三角不等式性质，但它在数学优化和信号处理等领域有着实际的应用。L0 范数指的是向量中非零元素的个数。它通常用来度量向量的稀疏性。数学上表示为：

[ |x|_0 = \text{number of non-zero elements in } x ]

例如，向量 (x = [1, 0, 2, 0, 3]) 的 L0 范数是 3，因为该向量中有三个非零元素。

L1 范数（L1-Norm）

L1 范数也被称作曼哈顿距离或者稀疏规则算子（lasso regularization）。它是向量中所有元素的绝对值之和。L1 范数会偏向产生少量的特征，而其他的特征都是0，能够用于特征选择，常用于稀疏编码、压缩感知等领域。数学上表示为：

[ |x|1 = \sum{i=1}^{n} |x_i| ]

例如，向量 (x = [1, -2, 3]) 的 L1 范数就是 (|1| + |-2| + |3| = 6)，即向量中各元素绝对值之和。

Python 示例

我们现在使用 Python 来计算一个向量的 L0 范数和 L1 范数。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Feb 19 21:55:07 2024@author: 李立宗公众号：计算机视觉之光知识星球：计算机视觉之光"""import numpy as np# 定义一个向量
x = np.array([1, -2, 0, 3])# 计算 L0 范数（非零元素的个数）
l0_norm = np.count_nonzero(x)# 计算 L1 范数（元素绝对值的和）
l1_norm = np.sum(np.abs(x))print("L0 范数:", l0_norm)
print("L1 范数:", l1_norm)

这段代码首先导入了 NumPy 库，并定义了一个向量 x。然后，它使用 np.count_nonzero 函数来计算非零元素的个数，即 L0 范数。接着，该代码使用 np.sum 函数和 np.abs 函数来计算所有元素的绝对值之和，即 L1 范数。最后，两个范数的结果被打印出来。

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我的图书

下面两本书欢迎大家参考学习。

OpenCV轻松入门

李立宗，OpenCV轻松入门，电子工业出版社，2023
本书基于面向 Python 的 OpenCV(OpenCV for Python)，介绍了图像处理的方方面面。本书以 OpenCV 官方文档的知识脉络为主线，并对细节进行补充和说明。书中不仅介绍了 OpenCV 函数的使用方法，还介绍了函数实现的算法原理。

在介绍 OpenCV 函数的使用方法时，提供了大量的程序示例，并以循序渐进的方式展开。首先，直观地展示函数在易于观察的小数组上的使用方法、处理过程、运行结果，方便读者更深入地理解函数的原理、使用方法、运行机制、处理结果。在此基础上，进一步介绍如何更好地使用函数处理图像。在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的实例来说明问题，避免使用过多复杂抽象的公式。

本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，包括在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者。
本书第1版出版后，深受广大读者朋友的喜爱，被很多高校选为教材，目前已经累计重印9次。为了更好地方便大家学习，对本书进行了修订。
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计算机视觉40例

李立宗，计算机视觉40例，电子工业出版社，2022
近年来，我深耕计算机视觉领域的课程研发工作，在该领域尤其是OpenCV-Python方面积累了一点儿经验。因此，我经常会收到该领域相关知识点的咨询，内容涵盖图像处理的基础知识、OpenCV工具的使用、深度学习的具体应用等多个方面。为了更好地把所积累的知识以图文的形式分享给大家，我将该领域内的知识点进行了系统的整理，编写了本书。希望本书的内容能够对大家在计算机视觉方向的学习有所帮助。
本书以OpenCV-Python（the Python API for OpenCV）为工具，以案例为载体，系统介绍了计算机视觉从入门到深度学习的相关知识点。
本书从计算机视觉基础、经典案例、机器学习、深度学习、人脸识别应用等五个方面对计算机视觉的相关知识点做了全面、系统、深入的介绍。书中共介绍了40余个经典的计算机视觉案例，其中既有字符识别、信息加密、指纹识别、车牌识别、次品检测等计算机视觉的经典案例，也包含图像分类、目标检测、语义分割、实例分割、风格迁移、姿势识别等基于深度学习的计算机视觉案例，还包括表情识别、驾驶员疲劳监测、易容术、识别年龄和性别等针对人脸的应用案例。
在介绍具体的算法原理时，本书尽量使用通俗易懂的语言和贴近生活的示例来说明问题，避免使用复杂抽象的公式来介绍。
本书适合计算机视觉领域的初学者阅读，适于在校学生、教师、专业技术人员、图像处理爱好者使用。

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