P5304 旅行者

$\mathrm{Description}$

给定一个 $n$ 个点，$m$ 条边的有向图，求解 $k$ 个点两两间最短路长度的最小值。

$\mathrm{Solution}$

对于 $k$ 个点，可以考虑二进制分组优化，即对于每一位为 $1$ 的点放入 $1$ 组（设为 $A$ 组），为 $0$ 的点放入 $1$ 组（设为 $B$ 组）。

则如果建立一个虚拟源点和一个虚拟汇点，并由虚拟源点向 $A$ 组中的每一个点连一条长度为 $0$ 的边，且由 $B$ 组中的每一个点向虚拟汇点连一条长度为 $0$ 的边，那么虚拟源点到虚拟汇点的最短路即为 $A$ 组中任意一个点到 $B$ 组中任意一个点的最短路长度的最小值。

正确性证明：对于 $k$ 个点中的任意 $2$ 个点，由于编号是不同的，那么必定有一位二进制是不同的，所以总有一次一个点在 $A$ 组，一个点在 $B$ 组，这 $2$ 个点之间的最短路也一定会给答案贡献 $1$ 次。

$Code$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long longusing namespace std;typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;const int SIZE = 4e7 + 10, SIZE2 = 1e5 + 10;int N, M, K;
int h[SIZE2], hs[SIZE2], e[SIZE], ne[SIZE], w[SIZE], idx;
int A[SIZE2], Dist[SIZE2], Vis[SIZE2];void add(int h[], int a, int b, int c)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++;
}int Dijkstra(int S, int T)
{memset(Dist, 0x3f, sizeof Dist);memset(Vis, 0, sizeof Vis);priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> Heap;Heap.push({0, S}), Dist[S] = 0;while (Heap.size()){auto Tmp = Heap.top();Heap.pop();int u = Tmp.second;if (Vis[u]) continue;Vis[u] = 1;for (int i = hs[u]; ~i; i = ne[i]){int j = e[i];if (Dist[j] > Dist[u] + w[i]){Dist[j] = Dist[u] + w[i];Heap.push({Dist[j], j});}}}return Dist[T];
}void solve()
{memset(h, -1, sizeof h);memset(hs, -1, sizeof hs);cin >> N >> M >> K;int u, v, c;while (M --){cin >> u >> v >> c;add(h, u, v, c);}for (int i = 1; i <= K; i ++)cin >> A[i];memcpy(hs, h, sizeof h);int S = 0, T = N + 1, Result = 1e18;for (int i = 0; i < 17; i ++){for (int j = 1; j <= K; j ++)if (A[j] >> i & 1)add(hs, S, A[j], 0);elseadd(hs, A[j], T, 0);Result = min(Result, Dijkstra(S, T));memcpy(hs, h, sizeof h);for (int j = 1; j <= K; j ++)if (A[j] >> i & 1)add(hs, A[j], T, 0);elseadd(hs, S, A[j], 0);Result = min(Result, Dijkstra(S, T));memcpy(hs, h, sizeof h);}cout << Result << endl;
}signed main()
{cin.tie(0);cout.tie(0);ios::sync_with_stdio(0);int Data;cin >> Data;while (Data --)solve();return 0;
}