518. 零钱兑换Ⅱ

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思路

本题相当于求装满容量为amount的背包有多少种方法，又由于零钱可以重复使用，属于完全背包的题型。将01背包完全装满的思路在494. 目标和中介绍过，在完全背包的理论基础中，知道它与01背包的接替区别只在于遍历顺序，因此此题很容易便能写出。代码随想录算法训练营第四十八天（动态规划篇之01背包）| 1049. 最后一块石头的重量Ⅱ，494. 目标和-CSDN博客代码随想录算法训练营第四十九天（动态规划篇）| 474. 一和零， 完全背包理论基础-CSDN博客

1. dp数组定义

dp[j]：装满容量为j的完全背包有dp[j]种方法。

2. 递推公式

对于面值为i的零钱，它和之前遍历过的零钱凑成总金额amount的方法取决于之前的硬币能凑成总金额(amount-i)的方法，把这个零钱i能凑成的方法加入到dp[j]中。因此，递推公式为：

dp[j] += dp[amount - i]

3. 初始条件

dp[0]要为1，如果是0，那么之后递推出来的dp值都为0。dp[0] = 1可以认为凑成零就是不拿出任何零钱这一种方法。dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了面值为j的零钱，也就是j-coins[i] == 0的情况，表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。其他下标的dp值保持为0就可。

4. 遍历顺序

对完全背包求总和的最大价值，容量从小到大遍历，可以外层遍历物体，内层遍历容量，也可以外层遍历容量，内层便遍历物体，和凑成总和的元素有没有顺序没关系。但对于这道题，我们要求凑成总和的元素是无序的，即{1，4}和{4，1}都能凑成5，但它们是一种方法，而非两种。分别考虑两种遍历顺序

1. 外层遍历容量，内层遍历物体

如果先遍历容量，再遍历物体，对当前容量，假设遍历第一个物体，发现与第三个物体能凑成总和，方法数加了1，那继续遍历到第三个物体时，又发现能与第一个物体凑成，方法数又加了1，就重复了。

2. 外层遍历物体，内层遍历容量

如果先遍历物体，再遍历容量，就是先把第一个物体加入运算，那时第三个物体还没加入，所以没有凑成，等遍历到第三个物体时，才能和第一个物体凑成，不会造成重复。

因此，应该外层遍历物体，内层遍历容量。

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

代码实现

class Solution(object):def change(self, amount, coins):dp = [0]*(amount + 1)dp[0] = 1for coin in coins: for j in range(coin, amount + 1):dp[j] += dp[j-coin]return dp[amount]