​定义：令U={u0,u1,…,um}是一个单调不减的实数序列，即ui≤ui+1，i=0，1，…，m-1。其中，ui称为节点，U称为节点矢量，用Ni,p(u)表示第i个p次（p+1阶）B样条基函数，其定义为

由此可知：

（1）Ni,0(u)是一个阶梯函数，它在半开区间u∈[ui,ui+1)外都为零；

（2）当p>0时，Ni,p(u)是两个p-1次基函数的线性组合；

（3）计算一组基函数时需要事先制定节点矢量U和次数p；

（4）定义式中可能出现0/0，我们规定0/0=0；

（5）Ni,p(u)是定义在整个实数轴上的分段多项式函数，但我们一般只对它在区间[u0,um]上的部分感兴趣；

（6）半开区间[ui,ui+1)称为第i个节点区间（knot span），它的长度可以为零，因为相邻节点可以是相同的；

（7）计算p次基函数的生成过程生成一个如下形式的三角形阵列：

为了书写方便，我们通常将Ni,p(u)写为Ni,p。

性质：

（1）（局部支撑性）如果u∉[ui,ui+p+1)，则Ni,p(u)=0。

（2）在任意给定的节点区间[uj,uj+1)内，最多p+1个Ni,p是非零的，它们是Nj-p,p，…，Nj,p。

（3）（非负性）对于所有的i，p和u，有Ni,p(u)≥0。

（4）（规范性）对于任意的节点区间[ui,ui+1)，当u∈[ui,ui+1)时

（5）（可微性）在节点区间内部，Ni,p(u)是无限次可微的。

（6）除p=0的情况外，Ni,p(u)严格地达到最大值一次。

#include<iostream>
int FindSpan(int n,int p,double u,double* U)
/*计算参数u所在区间的下标返回参数u所在节点区间的下标,即u所在的区间[ui,ui+1]的iU=[u0,u1,u2,...,um]n：节点数组最大下标-1,n=m-1p：次数u：参数U：节点数组*/
{if(u==U[n+1]){return n;}int low=p;int high=n+1;int mid=(low+high)/2;while(u<U[mid] or u>=U[mid+1]){if(u<U[mid]){high=mid;}else{low=mid;}mid=(low+high)/2;}return mid;
}
void BasisFuns(int i,double u,int p,double* U,double* N)
/*计算非零B样条基函数的值i:参数u所在节点区间的下标,即u所在的区间[ui,ui+1]的ip：次数u：参数U：节点数组N：B样条基函数值数组N(i,i-p),...,N(i,p)*/
{double temp=0.0;double saved=0.0;double left[p+1];double right[p+1];N[0]=1.0;for(int j=1;j<=p;j++){left[j]=u-U[i+1-j];right[j]=U[i+j]-u;saved=0.0;for(int r=0;r<j;r++){temp=N[r]/(right[r+1]+left[j-r]);N[r]=saved+right[r+1]*temp;saved=left[j-r]*temp;}N[j]=saved;}
}
int main()
{int n=10;const int p=2;double u=5.0/2;double U[]={0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5};double N[p+1];BasisFuns(4,u,p,U,N);std::cout<<FindSpan(n,p,u,U)<<std::endl;for(int i=0;i<=p;i++){std::cout<<N[i]<<std::endl;}system("pause");
}
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