C++力扣题目416--分割等和子集 1049--最后一块石头的重量II

416. 分割等和子集

力扣题目链接(opens new window)

题目难易:中等

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

  • 输入: [1, 5, 11, 5]
  • 输出: true
  • 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

  • 输入: [1, 2, 3, 5]
  • 输出: false
  • 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示:

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 100

#思路

这道题目初步看,和如下两题几乎是一样的,大家可以用回溯法,解决如下两题

  • 698.划分为k个相等的子集
  • 473.火柴拼正方形

这道题目是要找是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

那么只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和,就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

本题是可以用回溯暴力搜索出所有答案的,但最后超时了,也不想再优化了,放弃回溯,直接上01背包吧。

如果对01背包不够了解,建议仔细看完如下两篇:

  • 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(opens new window)
  • 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)(opens new window)

#01背包问题

背包问题,大家都知道,有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式,常见的有:01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包,而只能放入一次是01背包,写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包,因为元素我们只能用一次。

回归主题:首先,本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题,看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来。

  • 背包的体积为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完,我们就可以套用01背包,来解决这个问题了。

动规五部曲分析如下:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中,dp[j] 表示: 容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]。

本题中每一个元素的数值既是重量,也是价值。

套到本题,dp[j]表示 背包总容量(所能装的总重量)是j,放进物品后,背的最大重量为dp[j]

那么如果背包容量为target, dp[target]就是装满 背包之后的重量,所以 当 dp[target] == target 的时候,背包就装满了。

有录友可能想,那还有装不满的时候?

拿输入数组 [1, 5, 11, 5],举例, dp[7] 只能等于 6,因为 只能放进 1 和 5。

而dp[6] 就可以等于6了,放进1 和 5,那么dp[6] == 6,说明背包装满了。

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题,相当于背包里放入数值,那么物品i的重量是nums[i],其价值也是nums[i]。

所以递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

  1. dp数组如何初始化

在01背包,一维dp如何初始化,已经讲过,

从dp[j]的定义来看,首先dp[0]一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了,如果题目给的价值有负数,那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值,而不是被初始值覆盖了

本题题目中 只包含正整数的非空数组,所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下:

// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);

  1. 确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历!

代码如下:

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}
}

  1. 举例推导dp数组

dp[j]的数值一定是小于等于j的。

如果dp[j] == j 说明,集合中的子集总和正好可以凑成总和j,理解这一点很重要。

用例1,输入[1,5,11,5] 为例,如图:

416.分割等和子集2

最后dp[11] == 11,说明可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

综上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;// dp[i]中的i表示背包内总和// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了vector<int> dp(10001, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {sum += nums[i];}// 也可以使用库函数一步求和// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;// 开始 01背包for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}// 集合中的元素正好可以凑成总和targetif (dp[target] == target) return true;return false;}
};


 

  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n),虽然dp数组大小为一个常数,但是大常数

#总结

这道题目就是一道01背包应用类的题目,需要我们拆解题目,然后套入01背包的场景。

01背包相对于本题,主要要理解,题目中物品是nums[i],重量是nums[i],价值也是nums[i],背包体积是sum/2。

看代码的话,就可以发现,基本就是按照01背包的写法来的。

 

1049.最后一块石头的重量II

力扣题目链接(opens new window)

题目难度:中等

有一堆石头,每块石头的重量都是正整数。

每一回合,从中选出任意两块石头,然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y,且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下:

如果 x == y,那么两块石头都会被完全粉碎;

如果 x != y,那么重量为 x 的石头将会完全粉碎,而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后,最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下,就返回 0。

示例:

  • 输入:[2,7,4,1,8,1]
  • 输出:1

解释:

  • 组合 2 和 4,得到 2,所以数组转化为 [2,7,1,8,1],
  • 组合 7 和 8,得到 1,所以数组转化为 [2,1,1,1],
  • 组合 2 和 1,得到 1,所以数组转化为 [1,1,1],
  • 组合 1 和 1,得到 0,所以数组转化为 [1],这就是最优值。

提示:

  • 1 <= stones.length <= 30
  • 1 <= stones[i] <= 1000

#思路

如果对背包问题不都熟悉先看这两篇:

  • 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(opens new window)
  • 动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组)(opens new window)

本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆,相撞之后剩下的石头最小,这样就化解成01背包问题了

是不是感觉和昨天讲解的416. 分割等和子集 (opens new window)非常像了。

本题物品的重量为stones[i],物品的价值也为stones[i]。

对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。

接下来进行动规五步曲:

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]表示容量(这里说容量更形象,其实就是重量)为j的背包,最多可以背最大重量为dp[j]

可以回忆一下01背包中,dp[j]的含义,容量为j的背包,最多可以装的价值为 dp[j]。

相对于 01背包,本题中,石头的重量是 stones[i],石头的价值也是 stones[i] ,可以 “最多可以装的价值为 dp[j]” == “最多可以背的重量为dp[j]”

  1. 确定递推公式

01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

本题则是:dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

一些同学可能看到这dp[j - stones[i]] + stones[i]中 又有- stones[i] 又有+stones[i],看着有点晕乎。

大家可以再去看 dp[j]的含义。

  1. dp数组如何初始化

既然 dp[j]中的j表示容量,那么最大容量(重量)是多少呢,就是所有石头的重量和。

因为提示中给出1 <= stones.length <= 30,1 <= stones[i] <= 1000,所以最大重量就是30 * 1000 。

而我们要求的target其实只是最大重量的一半,所以dp数组开到15000大小就可以了。

当然也可以把石头遍历一遍,计算出石头总重量 然后除2,得到dp数组的大小。

我这里就直接用15000了。

接下来就是如何初始化dp[j]呢,因为重量都不会是负数,所以dp[j]都初始化为0就可以了,这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。

代码为:

vector<int> dp(15001, 0);

  1. 确定遍历顺序

在动态规划:关于01背包问题,你该了解这些!(滚动数组) (opens new window)中就已经说明:如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历!

代码如下:

for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}
}

  1. 举例推导dp数组

举例,输入:[2,4,1,1],此时target = (2 + 4 + 1 + 1)/2 = 4 ,dp数组状态图如下:

1049.最后一块石头的重量II

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

那么分成两堆石头,一堆石头的总重量是dp[target],另一堆就是sum - dp[target]。

在计算target的时候,target = sum / 2 因为是向下取整,所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。

以上分析完毕,C++代码如下:

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {vector<int> dp(15001, 0);int sum = 0;for (int i = 0; i < stones.size(); i++) sum += stones[i];int target = sum / 2;for (int i = 0; i < stones.size(); i++) { // 遍历物品for (int j = target; j >= stones[i]; j--) { // 遍历背包dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[target] - dp[target];}
};

  • 时间复杂度:O(m × n) , m是石头总重量(准确的说是总重量的一半),n为石头块数
  • 空间复杂度:O(m)

#总结

本题其实和416. 分割等和子集 (opens new window)几乎是一样的,只是最后对dp[target]的处理方式不同。

416. 分割等和子集 (opens new window)相当于是求背包是否正好装满,而本题是求背包最多能装多少。

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