三角形任意一外角大于不相邻的任意一内角

一.代数证明

在这里插入图片描述

∵ 对与△ A C B 中 ∠ c 外接三角形是 ∠ B C D ∵对与△ACB中∠c外接三角形是∠BCD 对与ACBc外接三角形是BCD
∴ ∠ B C D = π − ∠ C ∴∠BCD=\pi-∠C BCD=πC
∵ ∠ A + ∠ B + ∠ C = π ∵∠A+∠B+∠C=\pi A+B+C=π
∴ ∠ B C D = ∠ A + ∠ B ∴∠BCD=∠A+∠B BCD=A+B
∴ ∠ B C D > ∠ A ∧ ∠ B C D > ∠ B ∴∠BCD>∠A∧∠BCD>∠B BCD>ABCD>B

二.几何证明

在这里插入图片描述

在△ABC做边BC的中点F,连接AF做角平分线,找到A于F的对称点 A ′ A' A,连接 A ′ C A'C AC
∵ A F = A ′ F , B F = C F , ∠ B F A = ∠ C F A ′ ∵AF=A'F,BF=CF,∠BFA=∠CFA' AF=AF,BF=CF,BFA=CFA
∴ △ B F A ≌△ A ′ F C ∴△BFA≌△A'FC BFA≌△AFC
∴ ∠ B = ∠ F C A ′ ∴∠B=∠FCA' B=FCA
∵ ∠ F C A ′ 在 ∠ F C D 内 ∵∠FCA'在∠FCD内 FCAFCD
所以 ∠ F C D > ∠ B 所以∠FCD>∠B 所以FCD>B
∵ ∠ A + ∠ B = π − ∠ B C A = ∠ D C F , ∧ ∠ A + ∠ B < π 2 ∵∠A+∠B=\pi-∠BCA=∠DCF,∧∠A+∠B<\frac{\pi}{2} A+B=πBCA=DCF,A+B<2π
∴ ∠ A < π 2 − ∠ B ∴∠A<\frac{\pi}{2}-∠B A<2πB
∴ ∠ A < π 2 − π + ∠ B C A ∴∠A<\frac{\pi}{2}-\pi+∠BCA A<2ππ+BCA
∴ ∠ A + π 2 < ∠ B C A ∴∠A+\frac{\pi}{2}<∠BCA A+2π<BCA
∴ ∠ B C A > ∠ A ∴∠BCA>∠A BCA>A

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