Python算法例36 丑数Ⅱ

1. 问题描述

设计一个算法，找出只含素因子2、3、5的第n小的数，符合条件的数如：1、2、3、4、5、6、8、9、10、12…

2. 问题示例

如果n=9，返回10。

3. 代码实现

def find_nth_number(n):if n <= 0:return Nonenumbers = [1]idx2 = 0  # 索引指向最后一个乘以2的数idx3 = 0  # 索引指向最后一个乘以3的数idx5 = 0  # 索引指向最后一个乘以5的数for _ in range(1, n):next_num = min(numbers[idx2] * 2, numbers[idx3] * 3, numbers[idx5] * 5)numbers.append(next_num)if next_num == numbers[idx2] * 2:idx2 += 1if next_num == numbers[idx3] * 3:idx3 += 1if next_num == numbers[idx5] * 5:idx5 += 1return numbers[-1]
print(find_nth_number(9))  # 输出：10
print(find_nth_number(15))  # 输出：24

上述代码使用“丑数”算法（Ugly Number Algorithm）。

它的核心思想是将数字拆分成若干个质因子的乘积，而这个算法只考虑素因子 2、3、5。具体来说，该算法使用动态规划的思想，维护三个指针 idx2、idx3 和 idx5 分别表示当前已经乘以 2、3、5 的数的索引位置，然后每次取三个指针指向的数中的最小值作为下一个丑数。

具体实现步骤如下：

定义一个列表 numbers，用于存储已经生成的丑数，初始化为 [1]。
定义三个指针 idx2、idx3 和 idx5，初始值都为 0。
从 1 开始循环，依次生成第 2、3、4、...、n 个丑数。
对于当前要生成的第 i 个丑数，其值等于三个指针指向的数中的最小值，即 min(numbers[idx2] * 2, numbers[idx3] * 3, numbers[idx5] * 5)。
将上一步生成的数添加到列表 numbers 中。
如果新生成的数等于 numbers[idx2] * 2，则将指针 idx2 加 1；如果等于 numbers[idx3] * 3，则将指针 idx3 加 1；如果等于 numbers[idx5] * 5，则将指针 idx5 加 1。
重复步骤 4~6，直到生成第 n 个丑数为止。
返回列表 numbers 中的最后一个数即为第 n 小的丑数。

这种算法的时间复杂度为 $O(n)$ ，因为每次需要生成一个新的丑数，而且每个丑数都需要比较三个指针指向的数中的最小值。