计算3种颜色粉刷立方体的所有可能方法

“(伯恩赛德引理)设G是一个作用在有限集合X上的有限群,令N为轨道的个数,则

其中Fix(x)是被τ固定的x∈X的个数.“

*高等近世代数 Joseph J. Rotman P78

“设G是一个有限群,作用在集合X上。对每个g属于G令X^g表示X中在g作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数(记作X/G)由如下公式给出:

从而轨道数(是一个自然数或无穷)等于被G中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

使用三种颜色对立方体的面染色,旋转后相同的视为一种,染色方式总数可以由这个公式确定。选取一个定向,设X是这个定向立方体所有36种可能面染色组合,立方体的旋转群自然作用在X上。则X的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数,可以通过数G的24个元素的不动集合的大小求出来  “

*百度伯恩赛德引理

这里把所有57种可能都算出来了,立方体大小是4*4*4

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6个面颜色相同的有3种

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6个面有2种颜色,2个颜色的比例是1/5的有6种

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6个面有3种颜色,3种颜色的比例是1:1:4的有6个

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6个面只有2种颜色,两种颜色比例是3/3,有6个

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6个面有3种颜色,3种颜色比例是2:2:2的有6个。

数量

比例

3

6

6

15

12

24

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共有57个不同的染色方式。

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