概率论与数理统计-第7章 假设检验

假设检验的基本概念

二、假设检验的基本思想

假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法,为了检验一个假设H0,是否正确,首先假定该假设H0正确,然后根据抽取到的样本对假设H0作出接受或拒绝的决策,如果样本观察值导致了不合理的现象发生,就应拒绝假设H0,否则应接受假设H0·

三、假设检验的两类错误

  • 第一类错误
    当假设H0正确时,小概率事件也有可能发生,此时,我们会拒绝假设H0,因而犯了“弃真”的错误,称此为第一类错误.犯第一类错误的概率恰好就是“小概率事件”发生的概率α,即在这里插入图片描述
  • 第二类错误
    反之,若假设H0不正确,但一次抽样检验未发生不合理结果,这时我们就会接受H0,因而犯了“取伪”的错误,称此为第二类错误,记β为犯第二类错误的概率,即
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  • 理论上,自然希望犯这两类错误的概率都很小.当样本容量n固定时,α,β不能同时都小,即α变小时,β就变大;而β变小时,α就变大.一般只有当样本容量增大时,才有可能使两者同时变小.在实际应用中,一般原则是:控制犯第一类错误的概率,即给定α,然后通过增大样本容量n来减小β.

四、假设检验问题的一般提法

在假设检验问题中,把要检验的假设H0称为原假设(零假设或基本假设),把原假设H0的对立面称为备择假设(对立假设),记为H1.

单正态总体的假设检验

一、总体均值的假设检验

在检验关于总体均值μ的假设时,该总体中的另一个参数(即方差σ2)是否已知,会影响到对于检验统计量的选择,故下面分两种情形进行讨论,

  • 1.方差σ2已知的情形
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2.方差σ2未知的情形
第二种情形:σ^2也未知,对均值μ作假设检验。
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二、总体方差的假设检验

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三、拒绝域是针对检验统计量而言的。检验统计量的观察值落在拒绝域内,意味着小概率事件发生。

四、- 假设检验解题的一般步骤为:

第一步,理解题意,弄清楚题目考查的是哪一种情形的假设检验。
第二步,写出原假设H0、对立假设H1
第三步,在H0为真时,写出检验统计量的分布,构造概率为α的小概率事件,写出拒绝域的表达式。
第四步,计算检验统计量的观察值。如果观察值落在拒绝域内,则拒绝原假设;如果观察值落在拒绝域外,则接受原假设。

五.假设检验与区间估计本质上是同一种方法的两种不同表示形式。

考虑正态总体第一种情形的区间估计:σ2已知,对均值μ作区间估计,置信度为1-a。
同时考虑第一种情形的假设检验:σ2已知,对均值μ作假设检验,显著性水平为α,原假设H0:μ=μ0
可以证明:在某次抽样中,当μ0落在区间估计所求出的置信区间观察值内时,对应的假设检验的结论是接受原假设;当,落在区间估计所求出的置信区间观察值外时,对应的假设检验的结论是拒绝原假设。

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