LeetCode刷题--- 地下城游戏

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前言:这个专栏主要讲述动态规划算法,所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分:
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现


地下城游戏

题目链接:地下城游戏

题目

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里,他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下,他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫,因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数(若房间里的值为负整数,则表示骑士将损失健康点数);其他房间要么是空的(房间里的值为 0),要么包含增加骑士健康点数的魔法球(若房间里的值为正整数,则表示骑士将增加健康点数)。

为了尽快解救公主,骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意:任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁,也可能增加骑士的健康点数,包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1:

输入:dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]
输出:7
解释:如果骑士遵循最佳路径:右 -> 右 -> 下 -> 下 ,则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2:

输入:dungeon = [[0]]
输出:1

提示:

  • m == dungeon.length
  • n == dungeon[i].length
  • 1 <= m, n <= 200
  • -1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

解法

算法原理讲解

我们这题使用动态规划,我们做这类题目可以分为以下五个步骤

  1. 状态显示
  2. 状态转移方程
  3. 初始化(防止填表时不越界)
  4. 填表顺序
  5. 返回值
  • 状态显示
  1. 这道题如果我们和以前的题目一样定义成:从起点开始,到达 [i, j] 位置的时候,所需的最低初始健康点数。 那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题:那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。
  2. 这个时候我们要换⼀种状态表示:从 [i, j] 位置出发,到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候,后续的最佳状态就已经知晓。 综上所述,定义状态表示为: dp[i][j] 表示:从 [i, j] 位置出发,到达终点时所需的最低初始健康点数。
  • 状态转移方程
对于 dp[i][j] ,从 [i, j] 位置出发,下⼀步会有两种选择(为了⽅便理解,设 dp[ i ][ j ] 的最终答案是 x
  • 走到右边,然后⾛向终点 。那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗,应该要大于等于右边位 置的最低健康点数,也就是: x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。 通过移项可得: x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值,因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j]
  • ⾛到下边,然后⾛向终点。那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗,应该要⼤于等于下边位置的最低健康点数,也就是: x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。 通过移项可得: x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值,因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] -dungeon[i][j]
综上所述,我们需要的是两种情况下的最⼩值,因此可得状态转移⽅程为:
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]
但是,如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个⽐较⼤的正数的话, dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会⼩于 1 ,那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果⼩于等于 0 的话,说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最⼤值即可: dp[i][j] = max(1, dp[i][j])。
  • 初始化(防止填表时不越界)
dp 表最后⾯添加⼀⾏,并且添加⼀列后,所有的值都先初始化为⽆穷⼤,然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。
  • 填表顺序
根据「状态转移⽅程」,我们需要「从下往上填每⼀⾏」,「每⼀⾏从右往左」。
  • 返回值
根据「状态表⽰」,我们需要返回 dp[0][0] 的值。

代码实现

class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {int m = dungeon.size();int n = dungeon[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1,INT_MAX));// 初始化dp[m][n-1] = dp[m-1][n] = 1;// 填表for (int i = m - 1; i >= 0; i--){for (int j = n - 1; j >=0; j--){dp[i][j] = min(dp[i+1][j],dp[i][j+1]) - dungeon[i][j];dp[i][j] = max(1,dp[i][j]);     // 防止正数太大}}return dp[0][0];}
};

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