题目：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

分析：

假设为3行2列的二维数组

1. 向右---向下---向下

2. 向下---向下---向右

3. 向下--向右---向下

可以推导

1. 一直向右和一直向下，每种走法只有1种走法，没有其他可以旋转的空间。因此

1	1
1	2
1

2 、那么到达dp[1][1] 的走法就是 1 + 1 = 2；

3. 那么到达右下角dp[2][1] 就是 2 + 1 = 3; 即3种走法

分析2：

假设有3行7列

1. 按行走，只有1种走法

2、按列走，只有一种走法，可得

1	1	1	1	1	1	1
1
1

那么dp[1][1] 就是 dp[0][1] + dp[1][0] 即 1+ 1 = 2；依次类推可得

1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7
1

第三行还是按照这种方式推导，可得

1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7
1	3	6	10	15	21	28

因此,针对3行7列的二维数组，可得28种走法

代码实现：

public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp = new int[m][n];//第一行都为1for (int col = 0; col < n; col++) {dp[0][col] = 1;}//第一列都为1for (int row = 0; row < m; row++) {dp[row][0] = 1;}for (int row = 1; row < m; row++) {for(int col = 1; col < n; col++) {dp[row][col] = dp[row][col - 1] + dp[row - 1][col];}}return dp[m-1][n-1];}

还是一样的问题，以上代码的时间复杂度为O(m*n)， 空间复杂度也为O(m*n). 如果100行100列的二维数组，将浪费100*100的空间复杂度。

空间压缩进行优化：

 public int uniquePaths2(int m, int n) {int[] dp = new int[n];//第一行都为1for (int col = 0; col < n; col++) {dp[col] = 1;}for (int row = 1; row < m; row++) {dp[0] = 1;for (int col = 1; col < n; col++) {dp[col] = dp[col -1] + dp[col];}}return dp[n -1];}

完整代码：

package code03.动态规划_07.lesson4;//力扣62题
// https://leetcode.cn/problems/unique-paths/description/
public class DiffPathSum_02 {public int uniquePaths(int m, int n) {int[][] dp = new int[m][n];//第一行都为1for (int col = 0; col < n; col++) {dp[0][col] = 1;}//第一列都为1for (int row = 0; row < m; row++) {dp[row][0] = 1;}for (int row = 1; row < m; row++) {for(int col = 1; col < n; col++) {dp[row][col] = dp[row][col - 1] + dp[row - 1][col];}}return dp[m-1][n-1];}public int uniquePaths2(int m, int n) {int[] dp = new int[n];//第一行都为1for (int col = 0; col < n; col++) {dp[col] = 1;}for (int row = 1; row < m; row++) {dp[0] = 1;for (int col = 1; col < n; col++) {dp[col] = dp[col -1] + dp[col];}}return dp[n -1];}
}

力扣测试通过：

题目：力扣63题： 力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

分析：

1. 这一题其实跟上面一体解法相同，唯一的不同之处是有障碍物。

2. 第一行和第一列遇到障碍物，那么后面的路都走不通而已

3. 后面的推导，当前方格为障碍物，设置0代表走不通；如果不为0，则按照原有逻辑进行推导即可

完整代码：

package code03.动态规划_07.lesson4;//力扣63题
// https://leetcode.cn/problems/unique-paths-ii/description/
public class DiffPathSum_03 {//时间复杂度 O(m*n), 空间复杂度 O(m*n)public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.length;int n = obstacleGrid[0].length;//obstacleGrid[0][0] == 1 代表左上角第一个就是障碍物//obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 代表右下角最后一个是障碍物if (obstacleGrid == null|| obstacleGrid.length == 0|| obstacleGrid[0][0] == 1|| obstacleGrid[m-1][n-1] == 1) {return 0;}int[][] dp = new int[m][n];//处理第一行dp[0][0] = 1;for (int col = 1; col < n; col++) {//如果当前列为1, 或者前一列为0. 代表遇到障碍物。后面路走不通，全部变为0if (obstacleGrid[0][col] == 1 || dp[0][col -1] == 0) {dp[0][col] = 0;} else {//第一行只有1条路dp[0][col] = 1;}}//处理第一列for (int row = 1; row < m; row++) {//如果当前列为1, 或者上一列为0. 代表遇到障碍物。后面路走不通，全部变为0if (obstacleGrid[row][0] == 1 || dp[row-1][0] == 0) {dp[row][0] = 0;} else {//第一行只有1条路dp[row][0] = 1;}}for (int row = 1; row < m; row++) {for(int col = 1; col < n; col++) {//如果当前列有障碍物，此条路走不通。当前列的值变为0//否则，按照原有的逻辑进行计算dp[row][col] = obstacleGrid[row][col] == 1 ? 0: dp[row][col - 1] + dp[row - 1][col];}}return dp[m-1][n-1];}//空间压缩//时间复杂度 O(m*n), 空间复杂度 O(n)public int uniquePathsWithObstacles2(int[][] obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.length;int n = obstacleGrid[0].length;//obstacleGrid[0][0] == 1 代表左上角第一个就是障碍物//obstacleGrid[m-1][n-1] == 1 代表右下角最后一个是障碍物if (obstacleGrid == null|| obstacleGrid.length == 0|| obstacleGrid[0][0] == 1|| obstacleGrid[m-1][n-1] == 1) {return 0;}int[] dp = new int[n];//处理第一行dp[0] = 1;for (int col = 1; col < n; col++) {//如果当前列为1, 或者前一列为0. 代表遇到障碍物。后面路走不通，全部变为0if (obstacleGrid[0][col] == 1 || dp[col -1] == 0) {dp[col] = 0;} else {//第一行只有1条路dp[col] = 1;}}for (int row = 1; row < m; row++) {//当前列为障碍物或者上一列为障碍物，都走不通。dp[0] =  (obstacleGrid[row][0] == 1 || dp[0] == 0) ? 0 : 1;for(int col = 1; col < n; col++) {//如果当前列有障碍物，此条路走不通。当前列的值变为0//否则，按照原有的逻辑进行计算dp[col] = obstacleGrid[row][col] == 1 ? 0 : dp[col -1] + dp[col];}}return dp[n-1];}public static void main(String[] args) {DiffPathSum_03 test = new DiffPathSum_03();int[][] arr = {{0, 0, 0},{0, 1, 0},{0, 0, 0}};System.out.println(test.uniquePathsWithObstacles2(arr));}
}