当执行主成分分析（PCA）降维时，具体的步骤如下：

1.数据准备：

2.数据集：有一个包含多个样本和特征的数据集。每个样本都是一个向量，每个特征都是向量的一个维度。
3.数据中心化：计算每个特征的均值，然后将每个样本中的每个特征减去相应的均值，以实现数据中心化。

4.计算协方差矩阵：

5.协方差：计算数据集中每对特征之间的协方差。协方差矩阵是一个对称矩阵，其中每个元素表示相应特征之间的协方差。
6.协方差矩阵的计算：假设有n个特征，协方差矩阵C的元素c(i, j)为第i个特征和第j个特征的协方差。对于数据集X，协方差矩阵C的计算公式为：
[ C = \frac{1}{n-1} \times X^T \times X ]
这里，(X^T)表示X的转置。

7.特征值分解：

8.特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值（eigenvalues）和相应的特征向量（eigenvectors）。
9.特征值和特征向量的计算：对于协方差矩阵C，解下面的方程得到特征值(\lambda)和对应的特征向量v：
[ C \times v = \lambda \times v ]

10.选择主成分：

11.排序：按照特征值的大小对特征向量进行排序。特征值越大，对应的特征向量所表示的方向对数据的解释能力越强。
12.选择主成分数量：根据需要降低的维度，选择前k个特征值对应的特征向量，构成一个转换矩阵W（由列向量组成）。

13.数据投影：

14.新空间：将原始数据集X乘以转换矩阵W，得到新的数据集X'。新的数据集X'的每一行对应一个样本，每一列对应一个主成分。
[ X' = X \times W ]

通过这些步骤，你就得到了在主成分方向上的投影，实现了对数据的降维。这新的特征向量是原始特征的线性组合，它们被称为主成分，而新的数据集中的每个样本都是在主成分方向上的投影。这使得你可以在更低维度上进行分析，同时尽量保留原始数据中的方差，从而最大限度地保留了信息。