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1、计算机科学的数学基础,第一章：语言与正规语言,1.1 符号、符号串及其运算,符号和符号串在形式语言中是非常重要的基本概念。,在计算机科学的发展中，符号主义一直占据着非常重要的位置。,语言的基础是字母表。,王雷版权所有,1.1 符号、符号串及其运算,字母表：一个非空的有限集合称为字母表，通常用或者大写的西文字母表示。字母表中的元素称作为字母或符号，一般用小写字母、数字等表示。,符号串：一个符号串是由字母表中的字母组成的一个有限序列。,符号串的长度：符号串所包含符号的个数称为符号串的长度。符号串w的长度记为|w|。,空串：长度为0的符号串称为空串，用表示。,王雷版权所有,1.1 符号、符号串及其运。

2、算,符号串的联结：联结是符号串的基本运算。两个符号串X和Y的联结，记为XY，就是把Y跟随在X的后面形成的符号串。,例1.1：设 = 1, 2是一个字母表。设X = 11、Y = 22分别是上的两个符号串。则： XY = 1122是X、Y两个符号串的联结，XY是上的一符号串。 YX = 2211是Y、X两个符号串的联结，YX也是上的一符号串。,一般来说，符号串的联结不满足交换律。显然符号串的联结是满足结合律的，即有，(XY)Z = X(YZ)。在例1.1中，显然有XYYX，(XY)X = X(YX) = 112211。,王雷版权所有,1.1 符号、符号串及其运算,由于是不含符号的符号串(空串)，。

3、所以对任意符号串X都有，X = X = X。由此我们可以认为是符号串联结运算的单位元。,符号串的方幂：设X是符号串，把X自身联结n次后，得到的符号串Z，即Z = XXXX = Xn，称为X的方幂。我们约定X0 = 。这个定义可以递归地表示为：,A,B,王雷版权所有,1.1 符号、符号串及其运算,符号串的子串、前缀和后缀： 符号串V是符号串W的子串，当且仅当存在符号串X和Y，使得W = XVY。这里，X和Y都可能是空串。,集合的联结：设A和B都是符号串的集合，定以集合A和B的联结为： AB = XY | XA且YB， 即集合A和B的联结是集合A中的符号串和集合B中的符号串的联结所构成的集合。,A。

4、,B,王雷版权所有,1.1 符号、符号串及其运算,集合的方幂：设A是符号串的集合，把A自身联结n次后，得到的新的集合An，即An = AAA，称为集合A的方幂。 我们约定A0 = 。这个定义可以递归地表示为：,王雷版权所有,1.1 符号、符号串及其运算,集合的闭包和正闭包：设A是符号串的集合，用A*表示A的所有的有限次方幂的并集，则称A*为集合A上的闭包，即：,注意：闭包A*与正闭包A+的差别在于是否包含空串。在闭包A*中去掉空串后就成为正闭包A+。A* 具有可数无穷多的符号串。,A* = A0A1A2An 而称A+ = A1A2An 为A上的正闭包，显然,有 A* = A0 A+ ， A+ 。

5、= A*A = AA*。,语言：令为一个字母表。若L *，则L是字母表上的一个语言。 即：L为一个由字母表上的字符串所构成的集合。,王雷版权所有,1.2 文法与语言的形式定义,语言都是用文法来描述的。 一个文法实际上是一组有限的规则式。,非终结符(一种过渡性符号)：也是一种符号，但不是字母表中的符号。我们将它记为V。,终结符：是一个语言的字母表中的符号。我们将它记为T。,对于一个形式语言L，设T和V分别是它的终结符集和非终结符集，显然有L T*，且TV = 。,王雷版权所有,1. 2. 1 文法的形式化定义,王雷版权所有,1. 2. 1 文法的形式化定义,王雷版权所有,1. 2. 1 文法的形。

6、式化定义,王雷版权所有,1. 2. 2 推导的形式化定义,王雷版权所有,1. 2. 2 推导的形式化定义,王雷版权所有,1. 2. 2 推导的形式化定义,规范句型、短语、直接短语和句柄,定义1. 5：给定一个文法G = (V, T, P, S)，如果符号串x是从文法G的开始符号S推导出来的，即S *x，则称x是文法G的句型。如果符号串x是仅由终结符组成的句型，即S*x且xT*，则称x是文法G的句子。 由规范推导所得到的句型就称之为规范句型。,王雷版权所有,1. 2. 2 推导的形式化定义,规范句型、短语、直接短语和句柄,定义1. 6 设GS是一文法，x = w是一句型， 如果：S*A且A * 。

7、w 则称w是句型x的一个相对于非终结符A的短语； 如果：S*A且Aw 则称w是句型x的一个相对于非终结符的直接短语(或简单短语)； 如果w是一个句型x的最左直接短语，称w为句型x的句柄。,王雷版权所有,1.2.3 语言的形式化定义,王雷版权所有,1.2.3 语言的形式化定义,王雷版权所有,1.2.3 语言的形式化定义,王雷版权所有,1.2.4 语法树,王雷版权所有,1.2.4 语法树,定义1.9 如果一个文法存在某个句子对应两棵以上的不同的语法树，或有两个以上的不同的最左(右)推导，则称该文法是二义性文法(程序设计语言不能有二义性 )。,定义1.10 如果一个语言L的任何文法都是二义性文法，则。

8、称该语言L是二义性语言。 在理论上已经证明了，存在着这种二义性的语言。 文法的二义性与语言的二义性是两个不同的概念。,A,B,王雷版权所有,1.2.5 文法和语言的类型,王雷版权所有,诺姆乔姆斯基(Noam Chomsky, 1928-)，美国语言学家，转换-生成语法的创始人。1928年12月7日出生于美国宾夕法尼亚州的费城。1947年，在哈里斯的影响下他开始研究语言学。1951年在宾夕法尼亚大学完成硕士论文现代希伯莱语语素音位学，1955年在该校完成博士论文转换分析，获得博士学位。从1955年秋天开始，他一直在麻省理工学院工作，曾任该校语言学与哲学系主任，并任该校认知科学研究中心主任，为语言。

9、学界培养了一批有素养的学者。,1.2.5 文法和语言的类型,王雷版权所有,1.2.5 文法和语言的类型,王雷版权所有,1.2.5 文法和语言的类型,王雷版权所有,1.2.5 文法和语言的类型,王雷版权所有,1.2.5 文法和语言的类型,王雷版权所有,1.3 正规表达式(正规式 ),王雷版权所有,1.3 正规表达式(正规式 ),王雷版权所有,1.3 正规表达式(正规式 ),王雷版权所有,1.3 正规表达式(正规式 ),王雷版权所有,1.3 正规表达式(正规式 ),正规表达式运算符的优先级顺序,王雷版权所有,1.4 正规文法与正规式,一个正规语言可以由正规文法定义，也可由正规式定义，对任意一个正规文法，存在一个定义同一个语言的正规式；反之，对于每一个正规式，存在一个生成同一语言的正规文法。,正规表达式和正规文法 之间是可以互相转换的。,王雷版权所有,1.4 正规文法与正规式,正规表达式转换成正规文法,王雷版权所有,1.4 正规文法与正规式,将正规文法转换成正规式,王雷版权所有,1.4 正规文法与正规式,将正规文法转换成正规式,王雷版权所有,1.4 正规文法与正规式,将正规文法转换成正规式,王雷版权所有,Thank You !,王雷 湘潭大学信息工程学院 2012版权所有。