矩阵翻硬币

问题描述

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式
　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出格式
　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
样例输入
2 3
样例输出
1
数据规模和约定
　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；

　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）

思路分析：小M的思路确实能够解决这个问题，但是我们看看下面的数据规模就可以发现，这种方法是不能解决100%的问题的。数据量太庞大了，暴力的方式必然出不来结果。

如果一个硬币反转了n次后正面朝上，且初始状态为反面朝上，那么n一定是个奇数。根据题意“ 对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转”。我们逆向的理解这个意思，对与一个横坐标为x的硬币而言，我们反转那些硬币时会需要翻转它呢？答案是横坐标的x的约数。例如x=9时，翻转横坐标为1,3,9的时候会影响它的翻转，纵坐标同理。

那么这个题目我们就可以通过求解拥有奇数个约数的数来实现，在数学上这种数字又叫做完全平方数。即1,4,9,16,25......（2^n）

我们知道矩阵的行号和列号是从1开始的，横坐标1-n，纵坐标1-m，那么我们需要解决的就是区间的完全平方数的个数问题，最后相乘即可得到（相乘是因为横坐标的翻转会影响纵坐标，纵坐标的翻转也会影响横坐标）。

注意：这里会涉及到大数开方的问题，不理解的读者可以参考JAVA应试技巧----大数开方，还要注意在存储数据时采用的变量类型，以及数据之间的转换。

import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);String n = in.next();String m = in.next();BigInteger ans = (sqrt(n)).multiply(sqrt(m));System.out.println(ans);}private static BigInteger sqrt(String num) {int length = num.length();     int sqrt_len = 0;
//        获取长度if(length % 2 == 0) {sqrt_len = length / 2;} else {sqrt_len = length / 2 + 1;}BigInteger beSqrtNum = new BigInteger(num);char[] ch = new char[sqrt_len];      Arrays.fill(ch, '0');   for(int i = 0; i < sqrt_len; i++) {         for(char j = '1'; j <= '9'; j++ ) {ch[i] = j;String s = String.valueOf(ch);BigInteger sqrtNum = new BigInteger(s);BigInteger squareNum = sqrtNum.multiply(sqrtNum);if(squareNum.compareTo(beSqrtNum) == 1) {ch[i] -= 1;break;}}}return new BigInteger(String.valueOf(ch));}
}