【OpenCV 例程200篇】70. 一维连续函数的傅里叶变换
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2.1 傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier series）在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数公式指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数的加权之和：
f(t)=A0+∑n=1∞Ansin(nωt+ψn)=A0+∑n=1∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]\begin{aligned} f(t) &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} A_n sin(n \omega t + \psi _n)\\ &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} [a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t)] \end{aligned} f(t)=A0+n=1∑∞Ansin(nωt+ψn)=A0+n=1∑∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]
这个和就是傅里叶级数。
2.2 傅里叶变换
任何非周期函数也可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数乘以加权函数的积分：
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdtf(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdω\begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d \omega \end{aligned} F(ω)f(t)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω
这个公式就是傅里叶变换（Fourier transform ）和逆变换。
*傅里叶变换存在的充分条件是：f(t) 的绝对值的积分是有限的，在信号处理、图像处理领域这一条件都能满足。
例程 8.3：一维连续函数的傅里叶变换（盒式函数）
以一维盒式函数为例，其傅里叶变换为：
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=∫−ππf(t)e−jωtdt=sin(ω)ω\begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ &= \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ &= \frac{sin(\omega)}{\omega} \end{aligned} F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=∫−ππf(t)e−jωtdt=ωsin(ω)
# 8.3：一维连续函数的傅里叶变换（盒式函数）# 盒式函数 (Box_function)x = np.arange(-5, 5, 0.1)w = 2 * np.pihalfW = w / 2y = np.where(x, x > -halfW, 0)y = np.where(x < halfW, y, 0)plt.figure(figsize=(9, 4))plt.subplot(131), plt.title("Box_function")plt.plot(x, y, '-b')plt.subplot(132), plt.title("Fourier transform")fu = np.sinc(x)plt.plot(x, fu, '-b')plt.subplot(133), plt.title("Spectrum of box_func")fu = abs(fu)plt.plot(x, fu, '-b')plt.show()
（本节完）
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