【OpenCV 例程200篇】70. 一维连续函数的傅里叶变换

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2.1 傅里叶级数

傅里叶级数(Fourier series)在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数公式指出,任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数的加权之和:
f(t)=A0+∑n=1∞Ansin(nωt+ψn)=A0+∑n=1∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]\begin{aligned} f(t) &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} A_n sin(n \omega t + \psi _n)\\ &= A_0 + \sum^{\infty}_{n=1} [a_n cos(n \omega t) + b_n sin(n \omega t)] \end{aligned} f(t)=A0+n=1Ansin(nωt+ψn)=A0+n=1[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]
这个和就是傅里叶级数。

2.2 傅里叶变换

任何非周期函数也可以表示为不同频率的正弦函数和/或余弦函数乘以加权函数的积分:
F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdtf(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdω\begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d \omega \end{aligned} F(ω)f(t)=+f(t)ejωtdt=2π1+F(ω)ejωtdω
这个公式就是傅里叶变换(Fourier transform )和逆变换。

*傅里叶变换存在的充分条件是:f(t) 的绝对值的积分是有限的,在信号处理、图像处理领域这一条件都能满足。


例程 8.3:一维连续函数的傅里叶变换(盒式函数)

以一维盒式函数为例,其傅里叶变换为:

F(ω)=∫−∞+∞f(t)e−jωtdt=∫−ππf(t)e−jωtdt=sin(ω)ω\begin{aligned} F(\omega) &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ &= \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-j\omega t} dt\\ &= \frac{sin(\omega)}{\omega} \end{aligned} F(ω)=+f(t)ejωtdt=ππf(t)ejωtdt=ωsin(ω)

    # 8.3:一维连续函数的傅里叶变换(盒式函数)# 盒式函数 (Box_function)x = np.arange(-5, 5, 0.1)w = 2 * np.pihalfW = w / 2y = np.where(x, x > -halfW, 0)y = np.where(x < halfW, y, 0)plt.figure(figsize=(9, 4))plt.subplot(131), plt.title("Box_function")plt.plot(x, y, '-b')plt.subplot(132), plt.title("Fourier transform")fu = np.sinc(x)plt.plot(x, fu, '-b')plt.subplot(133), plt.title("Spectrum of box_func")fu = abs(fu)plt.plot(x, fu, '-b')plt.show()

在这里插入图片描述



(本节完)


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