【OpenCV 例程200篇】71. 连续函数的取样
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1.2 连续函数的取样
连续函数必须经过取样和量化转换为离散函数，才能用计算机进行处理。
考虑一个连续函数 f(t)f(t)f(t)，以自变量 t 的均匀间隔 ΔT\Delta TΔT 对函数取样，取样序列中的任意取样值为：
fk=∫−∞+∞f(t)δ(t−kΔT)dt=f(kΔT)f_k = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta (t-k \Delta T) dt = f(k \Delta T) fk=∫−∞+∞f(t)δ(t−kΔT)dt=f(kΔT)
取样后的函数的傅里叶变换为：
F~(μ)=(F⋆S)(μ)=∫−∞+∞F(τ)S(μ−τ)dτ=1ΔT∑n=−∞∞F(μ−nΔT)\begin{aligned} \tilde{F}(\mu) &= (F \star S) (\mu) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} F(\tau) S(\mu-\tau) d \tau\\ &= \frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\mu-\frac{n}{\Delta T}) \end{aligned} F~(μ)=(F⋆S)(μ)=∫−∞+∞F(τ)S(μ−τ)dτ=ΔT1n=−∞∑∞F(μ−ΔTn)
香农（Shannon）取样定理指出，对于一个连续信号，用大于信号最高频率 2倍的取样率来取样，则不会丢失信号的有效信息。
或者说，以 1/ΔT1/\Delta T1/ΔT 的取样率对信号取样点的的最大频率是 μmax=1/2ΔT\mu_{max}=1/2\Delta Tμmax=1/2ΔT 。
例程 8.4：连续函数的取样
# 8.4：连续函数的取样# 定义函数，用于计算所有基矢的频率def gen_freq(N, fs):k = np.arange(0, np.floor(N/2) + 1, 1)return (k * fs) / NT = 100# 定义多个不同频率的基频信号fk = [2/T, 5/T, 12/T] # 频率A = [7, 3, 2] # 振幅phi = [np.pi, 2, 2*np.pi] # 初始相位n = np.arange(T)s0 = A[0] * np.sin(2 * np.pi * fk[0] * n + phi[0])s1 = A[1] * np.sin(2 * np.pi * fk[1] * n + phi[1])s2 = A[2] * np.sin(2 * np.pi * fk[2] * n + phi[2])s = s0 + s1 + s2 # 叠加生成混合信号g = np.fft.rfft(s) # 傅里叶变换plt.figure(figsize=(8, 6))plt.subplot(311)plt.plot(n, s0, n, s1, n, s2, ':', marker='+', alpha=0.5)plt.plot(n, s, 'r-', lw=2)plt.title("Sampling of continuous functions")plt.subplot(312)fs = 1 # 采样间隔为 1freq = gen_freq(T, fs=fs) # 计算频率序列ck = np.abs(g) / T # 计算振幅plt.plot(freq, ck, '.') # 频率-振幅图for f in fk:ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')plt.subplot(313)fs = 10 # 采样间隔为 10freq = gen_freq(T, fs=fs) # 计算频率序列ck = np.abs(g) / T # 计算振幅plt.plot(freq, ck, '.') # 频率-振幅图for f in fk:ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')plt.show()
（本节完）
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