一、前言

在川川前面两篇的推送中，学习到了如何求解线性规划最大值与最小值问题，但相关参数均以最优形式出现，那么在实际工程问题或者生活中，大部分要求为整数，因此本文将探讨线性整数规划问题。

二、问题提出

三、问题求解

3.1 线性规划（忽视整数条件）

忽略整数这一限制条件，即仍为前两天所考虑的线性规划问题，给出如下代码：

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[0;0];%大于等于0
ub=[inf;inf];
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

运行所得结果如下：


Optimal solution found.x =4.80921.8168best =355.8779

3.2 整数线性规划

在3.1中可以看到，z的最大值为355.9779那么我们可以将z的范围暂定为0≤z≤356，同样由于3.1中未考虑x1和x2的整数问题，而x1在4-5的整数范围内无其他整数，因此需要通过分枝方法来解决。

3.2.1 对x1进行分枝求解

（1）0≤x1≤4情况下代码如下：

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[0;0];%大于等于0
ub=[4;inf];%x1的上限改为4，x2没有上限
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

结果为：


Optimal solution found.x =4.00002.1000best =349

（2）x1≥5情况下代码如下：

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[5;0];%大于等于0
ub=[inf;inf];%x1的上限改为4，x2没有上限
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

结果为：


Optimal solution found.x =5.00001.5714best =341.4286

（3）符合条件最大值范围的再次确定：0≤z≤349

3.2.2 在x范围下对x2进行分支求解

（1）在0≤x1≤4情况下,对0≤x2≤2分支情况下代码如下：

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[0;0];%大于等于0
ub=[4;2];%x1的上限改为4，x2上限为2
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

结果为：


Optimal solution found.x =42best =340

（1）在0≤x1≤4情况下,对x2≥3分支情况下代码如下：

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[0;3];%x1大于等于0，x2大于等于3
ub=[4;inf];%x1的上限改为4，x2无上限
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

结果为：


Optimal solution found.x =1.42863.0000best =327.1429

（3）符合条件最大值范围的再次确定：340≤z≤349

3.2.3 求解最大值

在前面两步中，我们将x1的范围缩至大于等于5，接下来我们对x2进行分支

(1)0≤x2≤1

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[5;0];%x1大于等于5
ub=[inf;1];%x1的上限改为4，x2上限改为1
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

结果为：


Optimal solution found.x =5.44441.0000best =307.7778

（2）x2≥2

clc
clear all
c=[40 90];%目标函数确定
a=[9,7;7,20];
b=[56,70];%两个不等式约束条件
aeq=[];
beq=[];%没有等式约束
lb=[5;2];%x1大于等于5，x2大于等于2
ub=[inf;inf];%x1的上限改为4，x2没有上限
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x
best=c*x

结果为：


No feasible solution found.Linprog stopped because no point satisfies the constraints.x =[]错误使用  * 
用于矩阵乘法的维度不正确。请检查并确保第一个矩阵中的列数与第二个矩阵中的行数
匹配。要执行按元素相乘，请使用 '.*'。>>

在此条件下并无解。