递归算法及其时间复杂度分析

引言

“递归” 一词是比较专业的计算机术语，在现实生活中，有一个更可爱的词——“套娃”。如果把“递归算法”叫做“套娃算法”，或许可以减少一些恐惧程度。

套娃是有限的，同样，递归也是有限的，这和我们经常在影视作品中看到的“无限嵌套循环”是有很大区别的，递归一定存在某个可以返回的节点或条件，否则就会出现栈溢出错误（StackOverflowError）。

其实“套娃”这个词已经足以概括递归算法的本质，就是函数本身调用自身，直到找到一个可以返回的条件，再层层返回。参考《盗梦空间》《明日边缘》等。

递归算法一定可以改写成非递归的实现方式（迭代）。本篇博客将会展示一个简单的递归算法案例，并介绍评估递归算法时间复杂度的 Master公式。

一、案例：数组中的最大值

正如前面所说，递归算法一定可以改写成迭代方式，那么也就是说，递归也属于迭代，只不过它每次迭代的内容，和上一次都是一致的。

假设一个数组，如何用递归的方式找到其中的最大值？

分析，我们可以使用一个类似二分的思路，将数组层层二分，左侧找一个值，右侧找一个值，二者取一个最大。反复这样的过程。

完整代码：

public class RecursionGetMax {public static int getMax(int[] arr, int L, int R) {if (arr == null || arr.length == 0)throw new IllegalArgumentException("参数异常");if (arr.length == 1)return arr[0];// arr[L..R]范围上只有一个数，直接返回，base caseif (L == R)return arr[L];// 2个元素以上int mid = L + ((R - L) >> 1);// 递归取得区域最大int leftMax = getMax(arr, L, mid);int rightMax = getMax(arr, mid + 1, R);return Math.max(leftMax, rightMax);}public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 2, 3, 5, 22, 5, 221, 4, 6, 43, 6, 21, 1, 3, 3, 9};int max = getMax(arr, 0, arr.length - 1);System.out.println(max);}
}

注意，这道题在设计时，我们首先要有二分是思路基础，然后我们思考，要设计这样一个函数，这个函数一定会接收一个需要查找的数组，而仅仅传递数组的话，那么就需要在方法中反复拷贝新数组，显然空间复杂度太高，因此，不妨提供额外的两个指针，方便我们选取数组上的数，这样每次传递指针的值，就可以避免每次传递截取的数组。

其次，基础条件也是关键，base case 是可以直接返回的条件，即当 L == R 时，代表我们已经无法再继续二分，因此可以直接返回，这就是最终的返回节点，如果没有这个条件，那么递归将持续执行下去，直到 StackOverflow 。因此，在设计递归方法的时候，一定要考虑好 base case。