本章主要介绍几种较为常见的运动模型以及处理思路

一、抛物运动

抛物运动是一种较为简单的运动模型，在现实生活中非常常见，比如向空中抛球、向河里丢石子，等等。根据抛出方向的不同，抛物运动可以分为竖抛运动、平抛运动和斜抛运动。

这类运动有两个共同点：

一是物体具有初速度，这个初速度是通过“抛”这个动作得到的，比如炮弹发射、运动员跳跃、弹簧弹出等，“抛”的动作在使物体具有初速度后瞬间消失，也可以说“抛”等同于初速度。二是物体受到恒定不变的外力作用，最常见的是重力，以及后面将会学到的电磁力。

抛物运动有通用的处理方式：根据牛顿第二定律把恒定不变的外力转变为恒定不变的加速度，结合运动的合成与分解进行数学处理。主要的难点在于数学处理。

1.1 竖抛运动

竖抛运动是最为简单的抛物运动，其实就是匀变速直线运动。

竖抛运动可以分为两种：竖直上抛和竖直下抛，从字面上很容易理解。

竖直上抛是把物体竖直向上抛出，使其具有竖直向上的初速度。物体在重力的作用下，上升的速度逐渐减小，直至为0，此时到达最高点。然后开始做自由落体运动。

竖直下抛是把物体竖直向下抛出，使其具有竖直向下的加速度，物体在重力的作用下速度不断增加。

竖直上抛的上升阶段就是匀减速直线运动，下降阶段就是匀加速直线运动。竖直下抛运动就是匀加速直线运动。

处理竖抛运动的关键一步在于根据牛顿第二定律，把重力的作用转化为物体的加速度——即重力加速度。剩下的只是二次函数的数学问题。匀变速直线运动在《机械运动（一）直线运动》中有详细的介绍。

1.2 平抛运动

平抛运动是把物体水平抛出的运动，物体的运动轨迹为抛物线。

在“抛”的作用下物体具有水平方向的初速度，由于物体在水平方向不受外力作用，因此在水平方向的速度不变。同时，物体在竖直方向受到重力的作用，做匀加速运动。物体实际的运动轨迹是抛物线，下面用具体例子详细介绍。

例1.2：在高为20米的山坡顶，有颗重为20g的石子被水平方向的风吹落，落下的一瞬间具有沿水平方向15m/s的速度，重力加速度取g=10N/kg（

）。现在来研究这颗石子的运动。

首先建立平面直角坐标系，以起始位置的为原点，水平和竖直方向分别为x轴和y轴，分别以前进的方向和向上为正。

水平方向：石子做匀速直线运动。速度随时间变化的关系式为

（下图左），在任何时间水平方向的速度都为15 (m/s)；位移随时间变化的关系式为

（下图右），简单的匀速直线运动。

竖直方向：石子做匀加速直线运动。速度随时间变化的关系式为

（下图左），方向向下，符号取负号；位移随时间的变化关系式为

（下图右），相关推导在《机械运动（一）直线运动》。

现在根据上面的两组关系，把同一时刻下，石子在水平方向的位移作为横坐标，在竖直方向的位移作为竖坐标，做图，得到的即为石子的实际运动轨迹，方法如下：

第一步：分别列出石子在水平、竖直方向的位移-时间关系式

现在要做的是把

和

放到一个等式里来揭示它们之间的关系。可以发现，两个式子里都有共同的变量t（时间），这个共同的变量也叫作参数，可以利用这个参数把

和

联系到一起，这就是第二步要做的。

第二步：消去参数

根据

，可得

，

根据

，可得

（注：因为

，因此根号下是非负数，时间t总是非负的）

联立上面连个等式可得：

上面这个式子表明任意时刻下，石子水平方向位移与竖直方向位移的关系

第三步：化简

由于上面的等式里已经没有时间t，只有两个方向上的位移，因此可以简单地用 y代替

，用x代替

，即：

化为y关于x的函数为：

这就是该平抛运动的轨迹，是二次函数，如下图所示，因此二次函数的图像也叫抛物线

利用上述所得到的条件，可以求出许多其他的数据。

比如：山坡高为20m，意味着当y=-20时，石子就落地了。根据

，代入y=-20：

， 求得x=30（水平方向位移始终为正），可知石子落地的位置距离山坡的水平距离为30m，根据勾股定理可以求出直线距离为

（m）

此外，知道了石子落地时竖直方向的位移，根据

可求得石子落地时已经运动的时间，进而求出此时在水平、竖直两个方向分别的速度，根据向量的加减求出实际速度的大小和方向。请自己独立完成。

1.3 斜抛运动

斜抛运动是沿着倾斜角把物体抛出的运动，生活中常见的抛体运动大都是斜抛，完全水平或竖直的抛物在实际生活中不如斜抛常见。

斜抛运动的特点是物体具有倾斜的初速度，同时在竖直方向时刻受到重力的作用。处理斜抛运动与处理平抛运动比较类似，只是需要先把初速度分解为水平和竖直两个方向，物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做匀变速直线运动。还是用具体的例子详细介绍。

例1.3 某人在海边向大海里扔贝壳，沿着与水平线成30°角斜向上的方向将贝壳以20m/s的速度扔出，重力加速度取10N/kg，假设从水平面高度扔出。现在来研究这颗贝壳的运动。

首先依然建立平面之间坐标系：以水平向前和竖直向上分别为x轴、y轴正方向，扔出贝壳的起始位置为原点建立平面直角坐标系。

将贝壳的初速度沿着水平和竖直两个方向进行分解：

竖直方向还受到重力加速度作用:

仿照平抛运动分别分析两个方向上的运动

水平方向：贝壳做匀速直线运动。速度随时间变化的关系式为

（下图左） ，位移随时间变化的关系式为

（下图右）。

竖直方向：贝壳做竖直上抛运动，速度随时间变化的关系式为

（下图左）；位移随时间的变化关系式为

（下图右）。

关于贝壳的实际运动轨迹，因为

化成t关于

的函数是非常繁琐的，因此不要死板地化成

再去求解。可以利用简单的

，得倒

，然后直接代入

可得：

即

图像如下：

小结

以上就是抛物运动的主要模型，很多运动都可以参照抛物运动的方式来处理。

比如行驶中突然紧急刹车的汽车，如果受到来自地面的摩擦力不变，那么汽车从开始刹车到静止的过程类似于竖直上抛运动，都是匀变速直线运动。比如从一条船，始终保持船头正对着对岸（与河流方向垂直），在该方向上以匀速前进过河，这条船过河的过程类似于平抛运动。比如一条船的船头沿着倾斜的角度保持恒定动力前行，它的轨迹就类似于斜抛运动。只要物体的运动符合“具有初速度且受到的外力作用恒定不变”，就可以如此处理。

更加一般的，只要根据牛顿第二定律把力函数转变为加速度的函数，再进行数学处理就可以了，主要的难点集中在数学处理上。

二、匀速圆周运动

抛物运动虽然轨迹是曲线，但在实际处理时可以通过分解为两个方向上的直线运动来简化。匀速圆周运动和抛物运动有非常明显的区别。

这里只是先简单学习圆周运动的基本情况，深入的推导和延伸会在后面的章节中详细给出。

2.1 匀速圆周运动

速度大小不变，方向始终改变，运动轨迹为圆的运动叫做匀速圆周运动。在现实中做匀速圆周运动的例子很多，比如匀速旋转的摩天轮、旋转木马，用绳子一端系着钥匙匀速甩起来，等等。

在匀速圆周运动中，速度的大小不变，方向是时刻改变的，严格来讲速度是时刻变化的。这与直线运动中速度方向不变或只有正负两个方向有所不同。

2.2 方向：逆时针与顺时针

在圆周运动中，通常把逆时针旋转的运动方向规定为正，顺时针方向为负，也就是常见的钟表指针是沿着“负”方向旋转的。

2.3 大小：线速度与角速度

做匀速圆周运动的物体实际运动速度的大小叫做线速度，表示该物体在单位时间内通过圆周上的路程，单位为m/s。除了线速度，做匀速圆周运动的物体还具有角速度。接下来详细介绍线速度与角速度的区别与联系。

2.3.0 弧度

在讲角速度之前，要专门讲下弧度，本章以后的角度都用弧度单位。

在几何中学过，角度是把圆周分为360份，单位为度，每份就是1度，圆周是360度。这个单位“度”有些来历不明，毫无理由地使用了“360”这个数字，没有任何数学或科学上的依据。弧度直接揭示了角度与长度的关系。弧度就是角度，不过比角度更好用。

定义弧度：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度，单位为rad，即1rad。即从圆周上截取一段长度等于半径的弧，这段弧对应的角度为1弧度。如下图所示

如上图所示，在该单位圆的圆周上，截取一段长度等于半径的弧（红色），这段弧所对应的圆心角大小为一弧度：1 rad

单位：弧度单位rad，它与基本物理单位没有关系。硬要说的话，rad的单位为“1”（数字“一”）因为弧度表示的是弧长与半径的比值，弧长的标准单位为m，半径的标准单位也为m，二者相比，m/m=1。

根据圆周率可知，对于任意的圆，它的周长与直径的比值为定值，约为3.1415926......，叫做圆周率，用 π 表示。这个数量关系表示为C=πd 或C=2πr。C为周长，d为直径，r为半径。

由于整个圆周长为C=2πr，因此它可以看作是2π份长度为r的弧首尾相连，每段对应的角度就是1rad，因此整个圆周角为 2π rad。对于半径为r的圆，每个大小为a rad 的角对应的弧长为 ar 。

如上图所示，6段彩色的弧每段长度都为r，黑色的弧长为（2π-6），共同围成了圆周。

角度与弧度的关系：

360°=2π rad，即大小为a°的角换算为弧为：a°/360°=(x rad)/(2π rad)，x=πa/180。反之类似。

弧度在使用中比角度最大的方便就在于用它可以直接看出长度与角所对应的长度关系。但是由于角度用得比较久学得比较早，所以刚开始使用弧度会不太习惯。尽量多用弧度，熟悉之后会很明显地感受到它的优势。

2.3.1 回到角速度

角度度表示物体在单位时间内转过的弧度，单位为rad/s，与线速度类似，不过把距离（m）换成了弧度（rad）。

2.3.2 线速度与角速度的关系

根据弧度的定义（弧长与半径的对应关系）可得：对于沿着半径为r的圆做匀速圆周运动的物体，它的角速度 ω rad/s 与线速度 v m/s 具有数量关系 ω=v/r

很容易理解：在单位时间内，该物体沿着圆周通过的路程为a m，即这段弧长为a m。而长度为a m的弧对应的弧度为a/r rad。在单位时间内，该物体转过的弧度为ω，因此ω=a/r。 物理量的单位也是相符合的。

2.3.3 角速度相同线速度不同的例子

对于共用转动轴，圆心相同、半径不同的两个物体，比如下图中的一大一小两个齿轮，它们具有共同的角速度，即转完一圈的时间是相同的。但是线速度不同，根据数量关系 a=ωr 可知，半径越大线速度越大。它们用相同的时间转完一圈，但是大圈的总路程长，小圈的总路程短。

举生活中的例子，在跑步时，如果一个同学跑内圈，另一个同学跑外圈，两个同学一起举着一根杆子的两头固定角速度，跑外圈的同学要比跑内圈的同学跑得更快才行。

如上图，在共用转动轴的情况下，红色的小滚轮和蓝色的大滚轮具有相同的角速度，在相同时间内它们转过共同的角度α。由于大滚轮半径大，小滚轮半径小，单位时间内大齿轮转过了αR的距离，小滚轮转过了αr的距离，二者线速度跟半径大小有关。

2.3.4 线速度相同角速度不同的例子

对于用皮带、咬合的齿轮等将圆周上某点固定连接起来或固定一个位置作为接触点的两个转动物体，比如下图里传动带两端的一大一小两个滚轮，由于传动带的固定作用，传动带上任意位置的线速度都是相同的，这就导致了两端的两个滚轮也具有相同的线速度。但是由于两个滚轮的半径不同，根据ω=a/r，可知大的滚轮角速度小于小于小的滚轮。

还用跑步距离，对于速度相同的同学来说，跑完一圈为200m的操场，用时比跑完一圈为400m的操场用时要短。

如上图，一大一小两个滚轮，由于被黑色的被固定的传送带绑住连接起来，传送带上处处速度大小相同，因此两个滚轮的线速度也是相同的。

2.3.5 自行车是个非常好的二者兼具的例子

脚踏板和里面的滚轮共用一根轴，它们具有相同的角速度，即脚套版蹬过一圈，里面的滚轮就转一圈。滚轮和和自行车的后轮被链条固定起来，二者具有相同的线速度。自行车的前轮和后轮都在地面上行驶，也具有相同的线速度，二者滚过的路程必须相同，不然自行车前后快慢不一致就散架了。对于前后轮大小相差很大的自行车看起来会更加明显，小的轮胎转过好几圈了，大的轮胎连一圈都没转完。

2.4 向心力

物体做圆周运动需要在受到向心力的作用下来实现。向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是万有引力，比如地球绕着太阳转（近似为圆周运动）。也可以是绳子的拉力，比如用绳子系着小球甩。

对于做匀速圆周运动的物体，向心力大小不变，方向时刻变化，与速度方向垂直且沿着物体指向圆心。

向心力的大小计算公式为：

，m为运动物体的质量，单位为kg；v为运动的线速度，单位为m/s；r为运动半径，单位为m。

向心力也可以用角速度来表示，根据 ω= v/r可得：

，ω为角速度，单位为rad/s。

在现实生活中常见的匀速圆周运动，比如匀速甩绳子时，手对绳子的拉力就是这样变化的，但其实这是在手的操纵下，刻意让绳子做匀速圆周运动，有种“为了制造匀速圆周运动而特意制造向心力”的感觉。这与汽车刹车、自由落体等运动中，“客观存在的力迫使物体做匀加/减速运动”的感觉不同。那么是否存在客观存在的某种力，迫使物体做匀速圆周运动，而非为了维持匀速圆周运动而刻意制造向心力呢？

是有的，但是与现实生活有一定距离。比如地球绕着太阳转、月球绕着地球转、人造卫星绕着地球转，都可以近似地看作是万有引力使得地球、月球、卫星做匀速圆周运动。此外，后面将会学到的电磁学，在某些常见的情形中，电磁力也会迫使带电荷的物体做匀速圆周运动。

2.5 向心加速度

在向心力的作用下，物体具有向心加速度。利用牛顿第二定律很容易求出向心加速度的大小：

或

向心加速度虽然叫作“加速度”，但它的效果并不是使物体的速度增大，而是改变物体的运动方向，不要被名称给误导了。

2.6 向心力的变化

高中物理主要考察的是匀速圆周运动，向心力的大小是恒定的，对于向心力大小突然变化通常只需要定量考虑即可。

根据具体情况，当做匀速圆周运动物体受向心力突然变化时。要分解考虑新力的作用：分解为沿运动方向和指向圆心方向：沿运动方向是否有力改变物理速度的大小？沿指向圆心方向的力是比维持匀速圆周运动所需要的力大了还是小了？大的话物体会更偏向圆心，小的话会更远离圆心。

向心力和向心加速度的推导会在后续章节里详细讲解。

三、单摆

单摆后续会在机械振动再详细讲解，这里先简单点一下基本情况。

把一根没有重量的绳子（或直杆）的一端固定住，绳子可以沿这个固定点自由地来回摆动。绳子的另一端系上有质量的重物，保持绳子自然伸长的情况下，把重物推到某个不太高的高度静止，然后突然松手，这个系着重物的绳子开始来回摆动，这个模型叫做单摆。现实中的荡秋千很接近单摆。如下图所示

单摆模型有几个关键：绳子或杆没有质量，末端的物体有重量，绳子或杆可以沿着固定点（沿着某个方向）自由来回摆动，抬起的角度不大（θ通常不大于10°），整个系统没有摩擦力和阻力，摆动的幅度不太大。

单摆做得是周期运动，它具有一个固定的周期T。每经过整数个周期T的时间，它将回到原来的运动状态。也可以说是时间间隔为整数个周期的时刻下，单摆的运动状态相同。周期的时间就是从一个运动状态到再次出现该运动状态的最小间隔。比如从一个最高点摆到另一个最高点再回来。或者从最低点摆到一个最高点，再摆到另一个最高点，再回到最低点。

单摆在高中不是重要内容，只需要牢记它的周期公式，这个公式的推导是大学里的内容，不需要掌握。单摆的周期公式为：

从公式中可以看出，单摆的周期之于它的长度有关，与摆动物体的质量无关，与抬起的最大高度也无关（在角度很小的范围内）。